Déplacement virtuel

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En mécanique lagrangienne, un déplacement virtuel est un déplacement théorique d'un système physique qui est atemporel, infinitésimal, ne respecte pas obligatoirement les forces appliquées au système, mais respecte ses contraintes holonomes.

Respecter les contraintes signifie que si la position est réaliste (est conforme aux hypothèses) pour le système, alors la position aussi.

Dans le cas d'une contrainte holonome on a donc et , d'où, au premier ordre, , ce qui est une contrainte entre les . On peut justifier que le vecteur est proportionnel à la force de contrainte généralisée associée, le coefficient de proportionnalité étant nommé multiplicateur de Lagrange.

Avec le principe de D’Alembert, les déplacements virtuels permettent de ne tenir compte, dans les équations, que des forces appliquées au système et d'éliminer celles dues aux contraintes. Toutefois, dans certains cas, il est préférable de tenir compte de ces dernières en utilisant les multiplicateurs de Lagrange.

En termes mathématiques, un déplacement virtuel est un vecteur tangent à la variété, imposée par les contraintes, dans laquelle évolue le système au cours du temps. Si le système est décrit par N vecteurs positions de l'espace physique, cette variété est plongée dans , si le système est décrit par n coordonnées généralisées, alors cette variété est plongée dans .

Si les coordonnées sont données par N vecteurs , un déplacement infinitésimal est noté et nécessite un temps infinitésimal . Un déplacement virtuel est noté et nécessite un temps nul.
Si les coordonnées sont données par n coordonnées généralisées , un déplacement infinitésimal est noté et nécessite un temps infinitésimal , et on a . Un déplacement virtuel est noté et nécessite un temps nul, et on a .

Le travail d'un déplacement virtuel est lui aussi virtuel.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Claude Gignoux et Bernard Silvestre-Brac ; Mécanique : de la formulation lagrangienne au chaos hamiltonien, éditeur EDP-Sciences, 2002, 467 pages ISBN 2868835848.