Cryptarithme

Un cryptarithme, aussi connu sous les noms d'arithmétique verbale, d'alphamétique et de cryptarithmétique, est un casse-tête numérique et logique qui consiste en une équation mathématique où les lettres représentent des chiffres à trouver.

Description[modifier | modifier le code]

L'équation comporte habituellement des opérations mathématiques de base, telles l'addition et la multiplication. L'exemple le plus connu, publié en juillet 1924 dans The Strand Magazine, est dû à Henry Dudeney :

${\begin{matrix}&&{\text{S}}&{\text{E}}&{\text{N}}&{\text{D}}\\+&&{\text{M}}&{\text{O}}&{\text{R}}&{\text{E}}\\\hline =&{\text{M}}&{\text{O}}&{\text{N}}&{\text{E}}&{\text{Y}}\\\end{matrix}}$

Chaque lettre représente un seul chiffre et le premier chiffre de chaque nombre est différent de zéro. Idéalement, le casse-tête doit avoir une solution unique.

La solution est O = 0, M = 1, Y = 2, E = 5, N = 6, D = 7, R = 8 et S = 9.

Une solution détaillée faite à la main est donnée plus bas.

Historique[modifier | modifier le code]

Ce casse-tête est relativement ancien et son inventeur est inconnu. Par exemple, le magazine The American Agriculturalist de 1864 démontre que ce n'est pas Sam Loyd, un spécialiste américain de casse-têtes mathématiques, qui a développé ce casse-tête. Le nom crypt-arithmétique est dû au Belge Minos qui en fait le premier usage en mai 1931 dans Sphinx, un magazine belge de mathématiques ludiques. En 1955, James Alston Hope Hunter introduit le mot « alphametic » pour identifier des cryptarithmes dont les lettres forment des mots ou des phrases intelligibles.

Résolution[modifier | modifier le code]

Pour résoudre à la main un cryptarithme, il faut faire des déductions astucieuses et une recherche extensive parmi les possibilités. Par exemple, dans l'exemple fourni au début de l'article, le M du résultat est 1, puisqu'il s'agit de la retenue de la somme de deux chiffres. Il est donc logique d'estimer que S=9 ou S=8, puisque ce sont les deux seuls nombres qui peuvent donner une retenue lorsqu'additionnés à M=1 ou M=2 (de M O R E).

Une méthode de résolution

{{{contenu}}}

L'utilisation de l'arithmétique modulaire peut aider à résoudre. En particulier, la réduction par 9 est souvent utile. Toujours dans l'exemple, ce principe affirme que S+E+N+D + M+O+R+E doit égaler M+O+N+E+Y modulo 9, donc S+E+D+R-Y est exactement divisible par 9.

En informatique, les cryptarithmes sont facilement résolubles à l'aide du retour sur trace. Ils servent aussi en tant qu'application pédagogique pour analyser les performances des algorithmes qui génèrent les permutations de n objets.

Exemples[modifier | modifier le code]

Voici les plus beaux exemples en français (compilés par Naoyuki Tamura^[1]) et complétés au moyen d'une recherche exhaustive avec tous les nombres^[2] :

HUIT + HUIT = SEIZE (8253 + 8253 = 16506 et 9254 + 9254 = 18508)

UN + UN + NEUF = ONZE (81 + 81 + 1987 = 2149)

CINQ + CINQ + VINGT = TRENTE (6483 + 6483 + 94851 = 107817)

ZERO + NEUF + NEUF + DOUZE = TRENTE (9206 + 3257 + 3257 + 86592 = 102312)

ZERO + ZERO + ZERO + UN + DOUZE = TREIZE (9506 + 9506 + 9506 + 82 + 76895 = 105495)

ZERO + ZERO + SEPT + SEPT + SEIZE = TRENTE (6904 + 6904 + 7921 + 7921 + 79869 = 109519)

ZERO + UN + TROIS + ONZE + QUINZE = TRENTE (7139 + 68 + 53902 + 9871 + 460871 = 531851)

ZERO + TROIS + TROIS + TROIS + SEPT = SEIZE (4273 + 17356 + 17356 + 17356 + 6201 = 62542)

ZERO + TROIS + TROIS + DOUZE + DOUZE = TRENTE (3496 + 19625 + 19625 + 76034 + 76034 = 194814)

ZERO + QUATRE + QUATRE + ONZE + ONZE = TRENTE (4876 + 130278 + 130278 + 6548 + 6548 = 278528)

UN + UN + QUATRE + DOUZE + DOUZE = TRENTE (59 + 59 + 652801 + 74531 + 74531 = 801981)

UN + DEUX + DEUX + DEUX + DEUX = NEUF (25 + 1326 + 1326 + 1326 + 1326 = 5329)

UN + QUATRE + CINQ + CINQ + QUINZE = TRENTE (50 + 356724 + 8103 + 8103 + 351094 = 724074)

TROIS + TROIS + TROIS + CINQ + SEIZE = TRENTE (14509 + 14509 + 14509 + 7063 + 98028 = 148618)

QUATRE + QUATRE + QUATRE + NEUF + NEUF = TRENTE (172536 + 172536 + 172536 + 9674 + 9674 = 536956)

3 × MOT = TOM - 1.

Notes et références[modifier | modifier le code]

↑ (en) Naoyuki Tamura, « Cryptarithmetic Puzzle Solver »
↑ « monosyllabiques »

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Henry Dudeney, The Strand Magazine, vol. 68, juillet 1924, p. 97 et 214.
Martin Gardner, Mathematics, Magic, and Mystery, Dover, 1956. (ISBN 978-0-48620335-5).
Le Journal of Recreational Mathematics maintient une chronique sur ce puzzle
J. A. H. Hunter, Globe and Mail (27 octobre 1955), p. 27.

Article connexe[modifier | modifier le code]

Équation diophantienne

Liens externes[modifier | modifier le code]

(en) Cryptarithms sur cut-the-knot
(en) Eric W. Weisstein, « Cryptarithmetic », sur MathWorld

[1] (en) Naoyuki Tamura, « Cryptarithmetic Puzzle Solver »

[2] « monosyllabiques »

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