Courbe du blancmanger

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Blancmange-function.svg

En mathématiques, la courbe du blancmanger est une courbe fractale. Elle est aussi connue comme la courbe de Takagi, d'après Teiji Takagi qui l'a décrite en 1903, ou comme la courbe Takagi-Landsberg (en), une généralisation de la courbe. Le nom blancmanger vient de sa ressemblance à l'entremets du même nom[1],[2]. C'est un cas particulier de courbe de De Rham (en).

Définition[modifier | modifier le code]

La fonction blancmanger est définie sur ℝ par : {\rm blanc}(x) = \sum_{n=0}^\infty {s(2^{n}x)\over 2^n},s est définie par s(y)=\min_{n\in{\Z}}|y-n|, c'est-à-dire que s(y) est la distance entre y et l'entier relatif le plus proche.

La série blanc(x) converge pour tout x, mais la courbe résultante est une fractale. La fonction blancmanger est continue (et 1-périodique, donc uniformément continue) mais dérivable en aucun point.

La courbe Takagi–Landsberg en est une généralisation donnée par la relation : T_w(x) = \sum_{n=0}^\infty w^n s(2^{n}x) pour un paramètre w. La valeur H = –log2w est appelée le « paramètre de Hurst ».

La courbe du blancmanger est donc le cas w = 1/2, H = 1.

Construction graphique[modifier | modifier le code]

La courbe du blancmanger peut être construite à partir des fonctions en dents de scie si la série est approximée par les premiers termes. Sur les illustrations ci-dessous, les fonctions en dents de scie (en rouge) sont progressivement ajoutées à la courbe à chaque étape.

Intégration de la courbe[modifier | modifier le code]

Étant donné que l'intégrale de 0 à 1 de la fonction blanc vaut 1/2, la relation {\rm blanc}(x)= {\rm blanc}(2x)/2+s(x) permet de calculer une primitive I(x)=\int_0^x{\rm blanc}(x)\,{\rm d}x.

Le calcul est récursif et son temps de calcul est de l'ordre du logarithme de la précision requise. I(x)=\begin{cases}
1/2+I(x-1)&\text{si }x\ge1\\
1/2-I(1-x)&\text{si }1/2<x<1\\
I(2x)/4+x^2/2&\text{si }0\le x\le1/2\\
-I(-x)&\text{si }x<0.
\end{cases}

Dimension fractale[modifier | modifier le code]

La courbe de Takagi-Landsberg de paramètre de Hurst H a pour dimension de Hausdorff[3] 2 – H.

La dimension de Hausdorff de la courbe du blancmanger, pour laquelle H = 1, vaut donc 1, malgré son aspect fractal.

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Blancmange curve » (voir la liste des auteurs).

  1. (en) John Mills et David Tall (en), « From the Visual to the Logical », Bulletin of the I.M.A., vol. 24,‎ , p. 176-183 (lire en ligne).
  2. (en) Eric W. Weisstein, « Blancmange Function », MathWorld.
  3. Hunt[Quoi ?], cité dans (en) B. B. Mandelbrot, Gaussian Self-Affinity and Fractals, Springer,‎ (ISBN 978-0-387-98993-8, lire en ligne), p. ?[réf. incomplète].

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]