Courbe de Lorenz

Type	Courbe économique (d)
Nommé en référence à	Max O. Lorenz

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Courbe de Lorenz. La ligne pointillée représente la ligne d'égalité linéaire parfaite. Le coefficient de Gini est : A / (A+B).

La courbe de Lorenz est la représentation graphique de la fonction qui, à la part x des détenteurs d'une part d'une grandeur, associe la part y de la grandeur détenue. Elle a été développée par Max O. Lorenz en vue d'une représentation graphique des inégalités de revenu.

Description

Elle peut être facilement transposée, notamment à la répartition d'une donnée statistique quelconque, comme :

les inégalités de répartition d'un actif ou de toute autre distribution de richesse,
l'état de la répartition des clients au sein d'une clientèle,
l'état de concentration d'un marché avec la ventilation des parts de marché.

Une interprétation de la courbe de Lorenz peut être faite au moyen du coefficient de Gini, égal au rapport de la surface A à l'aire totale du triangle. C'est une mesure d'inégalité de répartition.

Dans d'autres domaines (apprentissage automatique, statistiques), la courbe de Lorenz est appelée courbe CAP (Cumulative Accuracy Profile). Elle diffère de la courbe courbe ROC (Receiver Operating Characteristic, utilisée en épidémiologie, traitement du signal, psychologie expérimentale) en le sens que cette dernière établit une corrélation entre le taux de vrais positifs en fonction du taux de faux positifs, alors que la courbe CAP donne le taux de vrais positifs en fonction du taux d'échantillons considérés.

Exemple

Dans le cas de l'analyse des revenus des ménages, soit le pourcentage ou le nombre x des ménages les moins riches qui détient telle part en valeur ou en pourcentage y du revenu de l'ensemble des ménages, la part des ménages, classée par ordre de revenu individuel croissant, est figurée en abscisse, et la part du revenu en ordonnée.

Conclusions tirées de l'observation de la courbe :

dans une société, on dira que la distribution des revenus est parfaitement égalitaire si tous les ménages reçoivent le même revenu ; alors la part $x$ des ménages les moins riches reçoit une part $y = x$ du revenu global ; une répartition égalitaire est donc représentée par la première bissectrice du repère (d'équation $y = x$ ) ; cette droite est appelée la ligne d'égalité parfaite ;
à l'inverse, on parlera de distribution parfaitement inégalitaire si dans la société considérée, un ménage accapare le revenu total (global) ; dans ce cas, la fonction associée prend la valeur $y = 0$ pour tout $x < 100%$ , et $y = 100%$ quand $x = 100%$ ; la courbe de Lorenz correspondant à cette situation est appelée la ligne de parfaite inégalité.

Formalisation

La définition mathématique de la courbe de Lorenz passe par l’introduction des quantiles de la fonction de répartition de la grandeur étudiée. En notant $X$ la grandeur observée (revenu, patrimoine, etc.) et $μ$ sa loi de probabilité (qui peut être discrète, par exemple dans le cas où $X$ correspond à un échantillon réellement mesuré), l’on peut poser $Q μ$ la fonction quantile (l'inverse généralisé de la fonction de répartition de $μ$ ). La courbe de Lorenz est alors la courbe représentative de la fonction :

{\begin{array}{rcrcl}L_{\mu }&:&[0,1]&\longrightarrow &[0,1]\\&&p&\longmapsto &{\dfrac {\int _{0}^{p}Q_{\mu }(u)\mathrm {d} u}{\int _{0}^{1}Q_{\mu }(u)\mathrm {d} u}}\end{array}}

les deux intégrales étant calculées contre la mesure de Lebesgue.

L’intégrale du dénominateur est alors égale à l’espérance de $X$ .

Propriétés

La courbe de Lorenz d'une loi de probabilités n'est pas définie si l'espérance de cette loi est nulle ou infinie.

Si elle existe, la courbe de Lorenz d'une loi de probabilité est une fonction continue et passe toujours par les points $(0 ; 0)$ et par $(1 ; 1)$ . Cependant, les courbes de Lorenz représentant des fonctions discontinues peuvent être construites comme limites de courbes de Lorenz de lois de probabilités continues, la droite de parfaite inégalité étant un exemple. Une courbe de Lorenz ne peut pas être supérieure à la courbe de parfaite égalité.

L'information d'une courbe de Lorenz peut être résumée dans le coefficient de Gini et le coefficient d'asymétrie de Lorenz (en)^[1].

Une courbe de Lorenz qui n'est jamais dépassée par une autre courbe de Lorenz et lui est supérieure en au moins un point, a une dominance de Lorenz sur la seconde^[2].

Si la variable mesurée ne peut pas prendre des valeurs négatives, alors sa courbe de Lorenz

ne passera jamais en dessous de la droite d'inégalité parfaite,
est croissante

Cependant, une courbe de Lorenz pour une valeur nette commencerait vers des valeurs négatives à cause de la dette de certaines personnes.

La courbe de Lorenz est invariante par un facteur d'échelle positif : si $X$ est une variable aléatoire, pour tout nombre positif $c$ , la variable aléatoire $c X$ a la même courbe de Lorenz que $X$ . En revanche, pour un facteur négatif, on a la propriété suivante : si $X$ est une variable aléatoire admettant pour courbe de Lorenz $L X (F)$ , alors on a $L - X = 1 - L X (1 - F)$ .

La courbe de Lorenz est modifié par translations de sorte que le saut d'égalité $F - L (F)$ change proportionnellement avec le rapport entre les moyennes originales et translatées : si $X$ est une variable aléatoire avec une courbe de Lorenz $L X (F)$ et de moyenne $μ X$ , alors pour toute constante $c \neq - μ X$ , $X + c$ admet pour courbe de Lorenz : $F-L_{X+c}(F)={\frac {\mu _{X}}{\mu _{X}+c}}(F-L_{X}(F))$

Pour une fonction de répartition $F (x)$ de moyenne $μ$ et de réciproque (généralisé) $x (F)$ , alors pour tout $F$ tel que $0 < F < 1$ :

si la courbe de Lorenz est dérivable : ${\frac {\mathrm {d} L(F)}{\mathrm {d} F}}={\frac {x(F)}{\mu }}$
si la courbe de Lorenz est dérivable deux fois, alors la densité de probabilités $f (x)$ existe en ce point et : ${\frac {\mathrm {d} ^{2}L(F)}{\mathrm {d} F^{2}}}={\frac {1}{\mu \,f(x(F))}}\,$
si $L (F)$ est continûment dérivable, alors la tangente de $L (F)$ est parallèle à la droite de parfaite égalité en $F (μ)$ . C'est aussi le point où le saut d'égalité $F - L (F)$ est la plus grande. La taille du saut est égale à la moitié de la déviation absolue moyenne relative : $F(\mu )-L(F(\mu ))={\frac {\text{deviation absolue}}{2\,\mu }}$

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lorenz curve » (voir la liste des auteurs).

↑ (en) Christian Damgaard et Jacob Weiner, « Describing inequality in plant size or fecundity », Ecology, vol. 81, n^o 4,‎ 2000, p. 1139–1142 (DOI 10.1890/0012-9658(2000)081[1139:DIIPSO]2.0.CO;2)
↑ (en) John A. Bishop, John P. Formby et W. James Smith, « Lorenz Dominance and Welfare: Changes in the U.S. Distribution of Income, 1967-1986 », The Review of Economics and Statistics, vol. 73, n^o 1,‎ 1991, p. 134–139 (ISSN 0034-6535, DOI 10.2307/2109695, JSTOR 2109695, lire en ligne )

Lien externe

(en) Une fiche technique sur la courbe de Lorenz comprenant divers champs d'application, incluant un fichier Excel traçant la courbe de Lorenz et calculant coefficients de Gini et de variation.

[EcologyArticle-1] (en) Christian Damgaard et Jacob Weiner, « Describing inequality in plant size or fecundity », Ecology, vol. 81, n^o 4,‎ 2000, p. 1139–1142 (DOI 10.1890/0012-9658(2000)081[1139:DIIPSO]2.0.CO;2)

[2] (en) John A. Bishop, John P. Formby et W. James Smith, « Lorenz Dominance and Welfare: Changes in the U.S. Distribution of Income, 1967-1986 », The Review of Economics and Statistics, vol. 73, n^o 1,‎ 1991, p. 134–139 (ISSN 0034-6535, DOI 10.2307/2109695, JSTOR 2109695, lire en ligne )

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[2]