Flocon de Koch

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Le flocon de Koch est l'une des premières courbes fractales à avoir été décrite (bien avant l'invention du terme « fractal(e) »).

Elle a été inventée en 1906[1] par le mathématicien suédois Helge von Koch (1870 - 1924)[2].

Courbe de Koch[modifier | modifier le code]

Les 4 premières étapes de la construction.
Les 6 premières courbes successives en animation.

On peut la créer à partir d'un segment de droite, en modifiant récursivement chaque segment de droite de la façon suivante :

  1. On divise le segment de droite en trois segments de longueurs égales.
  2. On construit un triangle équilatéral ayant pour base le segment médian de la première étape.
  3. On supprime le segment de droite qui était la base du triangle de la deuxième étape.

Au bout de ces trois étapes, l'objet résultant a une forme similaire à une section transversale d'un chapeau de sorcière.

La courbe de Koch est la limite des courbes obtenues, lorsqu'on répète indéfiniment les étapes mentionnées ci-avant.

Une extension de la notion de dimension permet d'attribuer à la courbe de Koch une dimension fractale[3] (non entière) dont la valeur est

d = \frac{\ln(4)}{\ln(3)} \simeq 1,26.

La courbe de Koch a une longueur infinie parce qu'à chaque fois qu'on applique les modifications ci-avant sur chaque segment de droite, la longueur totale augmente d'un tiers.

La surface délimitée par la courbe est cependant finie (car elle est contenue dans le demi-cercle dont le diamètre est le segment initial). Si on a choisi l'unité d'aire de telle sorte que le triangle construit à la première itération soit d'aire 1, alors l'aire de chacun des quatre triangles construits lors de la seconde itération est 1/9 : on a donc augmenté l'aire totale de 4/9. Pour l'itération n, on ajoute 4^ {n-1} \times \left(\frac{1}{9}\right)^{n-1}. La surface totale s'obtient finalement en sommant une série géométrique :

\sum_{n=0}^\infty \left({4\over9}\right)^n = {1\over 1-4/9} = {9\over5}

La courbe de Koch constitue un exemple de courbe continue mais non dérivable en chacun de ses points.

Flocon de Koch[modifier | modifier le code]

Création du flocon de Koch

Le flocon de Koch s'obtient de la même façon que la fractale précédente, en partant d'un triangle équilatéral au lieu d'un segment de droite, et en effectuant les modifications en orientant les triangles vers l'extérieur. Pour un triangle initial (étape 0) de périmètre 1, le périmètre du flocon à l'étape n est (4/3)n.

On peut aussi partir d'un hexagone, et opérer en orientant les triangles vers l'intérieur.

Dans les deux cas, après quelques itérations on obtient une forme évoquant un flocon de neige régulier.

Comme la courbe, le flocon de Koch est de longueur infinie et délimite une aire finie égale aux 8/5 de l'aire du triangle initial.

Variantes de la courbe de von Koch[modifier | modifier le code]

Suivant le concept de von Koch, plusieurs variantes ont été conçues, en considérant des angles droits (Quadratique), d'autres angles (fractale de Cesàro) ou des extensions dans les dimensions supérieures (sphereflake, surface de Koch).

Variante Illustration Construction
1D & angle = 85°
Fractale Cesàro.
La fractale Cesàro est une généralisation de la courbe de Koch avec un angle compris entre 60° et 90° (ici 85°).
1D & 90°
Courbe quadratique de Koch (type 1)
Les 2 premières itérations.
1D & 90°
Courbe quadratique de Koch (type 2)
Les deux premières itérations. Sa dimension fractale égale 1,5, soit à mi-chemin entre la dimension 1 et la dimension 2. Cette propriété en fait une courbe très utilisée dans l'étude des propriétés physiques des objets fractals (cf. Sapoval).
2D & triangles
Surface de von Koch
Les 2 premières itérations. Extension naturelle à 2 dimensions de la courbe de von Koch.
2D & 90°
Surface quadratique de Koch (type 1)
Étape 1 Étape 2 Étape 3

Les trois premières étapes.

2D & 90°
Surface quadratique de Koch (type 2)
Quadratic Koch 3D (type2 stage1).png Quadratic Koch 3D (type2 stage2).png Quadratic Koch 3D (type2 stage3).png

Les trois premières étapes.

2D & sphères
Sphereflake
Eric Haines a développé la fractale sphereflake (litt. flocon de sphère), extension du flocon de Koch, construite à base de sphères.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. H. von Koch, Une méthode géométrique élémentaire pour l'étude de certaines questions de la théorie des courbes planes, Acta Math, 30 (1906) 145-174
  2. (en) Biographie de von Koch
  3. Une démonstration figure dans Les fractales. Tangente HS no 18 page 26.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]