Courant (mathématiques)

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En mathématiques, et plus précisément en analyse fonctionnelle, topologie différentielle et théorie géométrique de la mesure, un courant au sens de Georges de Rham[1] est une forme linéaire sur l'espace des formes différentielles à support compact sur une variété lisse. Formellement, les courants ressemblent aux distributions, mais sur un espace de formes différentielles. Dans un cadre géométrique, ils peuvent représenter l'intégration sur des sous-variétés pouvant présenter des singularités. Le théorème de Stokes se généralise aux courants.

Définitions[modifier | modifier le code]

Soit M une variété lisse. Un courant de dimension m sur M (et de degré dim(M) – m) est une forme linéaire, sur l'espace Ωmc(M) des m-formes différentielles sur M à support compact, qui est continue au sens des distributions[2].

Soit \mathcal D_m(M) l'espace vectoriel réel des m-courants sur M. On définit un opérateur de bord

\partial\colon \mathcal D_{m+1}(M)\to \mathcal D_m(M)

par

\partial T(\omega) := T({\rm d}\omega).

On peut voir alors que les courants représentent une généralisation des sous-variétés. En effet, si N est une sous-variété compacte orientée de dimension m de M, on peut lui associer le courant [N] défini par

[N](\omega)=\int_N\omega.

Le courant –[N] correspond à la variété –N (c'est-à-dire N munie de l'orientation opposée).

Alors, la définition du bord \partial T d'un courant est justifiée par le théorème de Stokes :

\int_{\partial N} \omega = \int_Nd\omega.

On définit le support du courant T, noté

\mathrm{spt}(T),

comme étant le plus petit fermé C tel que

T(\omega) = 0

si le support de ω est disjoint de C.

On note \mathcal E_m le sous-espace vectoriel de \mathcal D_m des courants à supports compacts.

Exemples[modifier | modifier le code]

Puisque

\Omega_c^0(M)=C^\infty_c(M),

un exemple de 0-courant est donné par la fonction δ de Dirac :

T(f) = f(0)..

Plus généralement, toute mesure signée régulière \mu est un 0-courant :

T(f) = \int f(x)\, d\mu(x).

Soit (x, y, z) les coordonnées dans R3. Alors, un exemple de 2-courant à support compact est :

 T(a\,dx\wedge dy + b\,dy\wedge dz + c\,dx\wedge dz) = \int_0^1 \int_0^1 b(x,y,0)\, dx \, dy.

Topologie[modifier | modifier le code]

L'espace des m-courants possède naturellement une topologie faible-*, comme dual topologique des m-formes différentielles à support compact. Cela permet alors de définir la notion de convergence faible. On dit qu'une suite Tk converge faiblement vers T si

T_k(\omega) \to T(\omega),\qquad \forall \omega.\,

Il existe une norme plus forte sur l'espace des courants qui est la mass norm.

Une norme intermédiaire existe aussi, la flat norm.

À noter que deux courants sont proches :

  • en mass norm s'ils diffèrent d'une petite partie ;
  • en flat norm s'ils sont égaux à une petite déformation près.

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

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[incompréhensible]

  • R_m désigne les courants rectifiables[3]
  • I_m désigne les courants intégraux :
I_m = \{ T \in R_m\mid\partial T \in R_{m-1} \}
  • F_m désigne les integral flat chains (ou chaînes intégrales plates) :
F_m = \{ T + \partial S\mid T \in R_m, S \in R_{m+1} \}
  • P_m désigne les chaînes polyédriques intégrales : c'est le sous-groupe additif de \mathcal E_m engendré par les simplexes orientés.


\left.
\begin{array}{ccccccc}
P_m & \quad \subset \quad & I_m & \quad \subset \quad & R_m & \quad \subset \quad & F_m
\\
\mathrm{chaines~poly\acute edriques~int\acute egrales}&&\mathrm{courants~int\acute egraux}&&\text{courants rectifiables} & &\text{integral flat chains}
\\
\cap & & \cap & & \cap & & \cap
\\
\mathbf{P}_m & \quad \subset \quad & N_m & \quad \subset \quad & \mathbf{R}_m & \quad \subset \quad & \mathbf{F}_m
\\
\mathrm{chaines~poly\acute edriques~r\acute eelles} &  & \text{courants normaux} & & \text{courants rectifiables} & &\text{real flat chains}
\\
&  &  & &  & & \cap
\\
&  &  & &  & &\mathcal E_m\subset\mathcal D_m
\end{array}
\right.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Current (mathematics) » (voir la liste des auteurs) et (en) Current de PlanetMath.

  1. (en) Georges de Rham, Differentiable Manifolds: Forms, Currents, Harmonic Forms, Springer,‎ (1re éd. 1984) (lire en ligne), traduit de Variétés différentiables : formes, courants, formes harmoniques, Hermann, Paris, 1955.
  2. Pour une définition plus précise de la topologie adoptée sur Ωmc(M), voir de Rham 2012, p. 34-40.
  3. (en) « Rectifiable current », sur PlanetMath.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]