Constante d'Hermite

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En géométrie des nombres, la constante d'Hermite γn, nommée d'après le mathématicien Charles Hermite, est définie de la manière suivante pour tout entier n > 0. Étant donné un réseau L, on note λ1(L) la norme d'un plus court vecteur non nul de L. Alors γn est le maximum de λ1(L) sur tous les réseaux L de l'espace euclidien Rn de volume fondamental égal à 1.

La constante d'Hermite est liée à la densité maximale Δn d'un empilement régulier d'hypersphères par la relation

est le volume de l'hypersphère unité de dimension n, exprimé ici à l'aide de la fonction gamma.

La suite des γn est d'ordre de croissance linéaire, mais on ne sait pas si c'est une suite croissante.

Valeurs connues[modifier | modifier le code]

La valeur exacte de γn est connue seulement pour n ≤ 8 et n = 24[1],[2].

n 1 2 3 4 5 6 7 8 24
γnn 1 4/3 2 4 8 64/3 64 28 424

La valeur est atteinte par le réseau des entiers d'Eisenstein. La valeur est atteinte par le réseau de Leech.

Encadrement[modifier | modifier le code]

Pour les autres dimensions, on sait encadrer la constante γn en fonction du volume Vn de l'hypersphère, en utilisant le théorème de Minkowski pour la majoration et celui de Minkowski-Hlawka (en) pour la minoration[3] :

.

Le majorant est inférieur à n pour tout n et équivalent à quand n tend vers l'infini (d'après l'expression ci-dessus de Vn et la formule de Stirling), mais il existe une majoration asymptotique bien plus fine[4] :

.

La minoration (valide seulement pour n > 1) implique que pour n assez grand.

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hermite constant » (voir la liste des auteurs).

  1. Suite A007361 de l'OEIS.
  2. Démonstration pour n = 6, 7 et 8 : (en) N. M. Vetčinkin, « Uniqueness of classes of positive quadratic forms on which values of the Hermite constant are attained for 6 ≤ n ≤ 8 », Proc. Steklov Inst. Math., AMS, vol. 152, no 3 (The Geometry of Positive Quadratic Forms),‎ , p. 37-95 (lire en ligne) (publié en russe en 1980), Theorem 1 (Blichfeldt (de)'s theorem).
  3. (en) John Milnor et Dale Husemöller (de), Symmetric Bilinear Forms, Springer, (lire en ligne), p. 31 et 17.
  4. (en) John Horton Conway et Neil Sloane, Sphere Packings, Lattices and Groups, Springer, , 3e éd. (1re éd. 1993) (lire en ligne), p. 20.