Conjecture de Zimmer

En mathématiques, la conjecture de Zimmer est une conjecture énoncée par Robert Zimmer en 1983, et démontrée depuis. Elle affirme que certaines symétries ne peuvent exister en petites dimensions. Elle peut être considérée comme une version « non linéaire » du théorème de super-rigidité (en) de Gregori Margulis.

Énoncé

Le programme de Zimmer est une collection de conjectures selon lesquelles les groupes suffisamment grands n’agissent que trivialement sur des variétés compactes de dimension relativement petite. La conjecture de Zimmer en fait partie. De manière informelle, la conjecture décrit les « circonstances dans lesquelles les espaces géométriques peuvent présenter certains types de symétries ». La conjecture dit qu'il peut exister des symétries (spécifiquement des réseaux ) en dimension élevée qui ne peuvent exister dans des dimensions inférieures.

Soit $\Gamma$ un réseau dans un groupe de Lie rang $r\geq 2$. Le théorème de la super-rigidité de Margulis dit que les représentations linéaires de $\Gamma$ sont ou bien des restrictions de représentations de $G$ ou bien ont une image finie. La conjecture de Zimmer est une conjecture analogue pour les actions de groupe sur les variétés. Elle affirme qu'une action de $\Gamma$ sur une variété de dimension au plus $r-1$ doit se factoriser sur un groupe fini. En particulier, elle dit pour les réseaux dans le groupe spécial linéaire $SL(n,\mathbb {R} )$ que les actions sur les variétés de dimension au plus $n-2$ factorisent sur les actions d'un groupe fini.

L'énoncé formel du théorème qui la démontre est :

Théorème — Soit $\Gamma$ un sous-groupe d’indice fini dans $SL(n,\mathbb {Z} )$ et soit $\rho :\Gamma \to {\text{Diff}}^{1}(M)$ une représentation dans le groupe des difféomorphismes de classe $C^{1}$ d’une variété compacte $M$ de dimension $d<n-1$. Alors l’image $\rho (\Gamma )$ est finie.

Discussion

Pour $n=3$, c'est-à-dire les actions de réseaux $\Gamma \subset SL(3,\mathbb {R} )$ sur le cercle, il est connu par des travaux de Witte, Ghys et Burger-Monod que de telles actions ont un point fixe global . Pour les actions en dimension un, la conjecture a été résolue indépendamment par Burger et Mo- nod et par Ghys (par des techniques de nature plus ergodique). Un résultat antérieur de Witte Morris, montre que tout réseau non-cocompact dans $SL(n,\mathbb {R} )$, pour $n>3$, n’agit que trivialement (image finie) sur la droite réelle $\mathbb {R}$ par homéomorphismes. Pour ce cas, un « point final » a été mis par Deroin et Furtado en 2020.

Pour les réseaux cocompacts en $SL(n,\mathbb {R} )$ et aussi pour $SL(n,\mathbb {Z} )$, Brown, Fisher et Hurtado ont prouvé la conjecture pour les actions $C^{2}$, pourvu que $n>3$.

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Zimmer's conjecture » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

• Aaron Brown, David Fisher et Sebastian Hurtado, « Zimmer’s conjecture for actions of $SL(m,\mathbb {Z} )$ », Inventiones mathematicae, vol. 221,‎ 2020, p. 1001–1060 (arXiv 1710.02735).
• Kevin Hartnett, « A Proof About Where Symmetries Can’t Exist », Quanta Magazine,‎ 23 octobre 2018 (lire en ligne, consulté le 2 novembre 2018).
• Michele Triestino, « La conjecture de Zimmer (d’après Brown, Fisher, et Hurtado) », La Gazette des mathématiciens, n^o 169,‎ juillet 2021 (lire en ligne, consulté le 10 octobre 2021).
• Serge Cantat, « Progrès récents concernant le programme de Zimmer », Séminaire Bourbaki,‎ 2017–2018, Exposé 1136.
• David Fisher, « Recent progress in the Zimmer program », Arxiv,‎ 24 février 2019 (arXiv 1711.07089).
• Étienne Ghys, « Sur les groupes engendrés par des difféomorphismes proches de l’identité », Bol. Soc. Brasil. Mat. (N.S.), vol. 24, n^o 2,‎ 1993, p. 137-178.
• D. Witte Morris, Ratner’s theorems on unipotent flows, University of Chicago Press, coll. « Chicago Lectures in Mathematics », 2005, xii+203.
• Bertrand Deroin et Sebastian Hurtado, « Non left-orderability of lattices in higher rank semi-simple Lie groups », Arxiv,‎ 24 août 2020 (arXiv 2008.10687).
• Robert J. Zimmer, « Actions of semisimple groups and discrete subgroups », dans Proceedings of the International Congress of Mathematicians, vol. 1, 2, Berkeley, Amer. Math. Soc., 1987, p. 1247-1258.