Conjecture d'Elliott-Halberstam

En théorie des nombres, la conjecture d'Elliott-Halberstam concerne la distribution des nombres premiers dans les progressions arithmétiques. Elle a beaucoup d'applications en théorie des cribles. Elle fut nommée ainsi en l'honneur de Peter D. T. A. Elliott et Heini Halberstam.

Notations[modifier | modifier le code]

Énoncer la conjecture nécessite quelques notations. On désigne usuellement par $π(x)$ le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à $x$ . Si $q$ est un entier strictement positif et $a$ est premier avec $q$ , notons $π(x; q, a)$ le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à $x$ qui sont congrus à $a$ modulo $q$ . D'après le théorème de la progression arithmétique, lorsque $a$ est premier avec $q$ , on a :

\pi (x;q,a)\approx {\frac {\pi (x)}{\varphi (q)}}.

On définit alors la fonction d'erreur

E(x;q)=\max _{(a,q)=1}\left|\pi (x;q,a)-{\frac {\pi (x)}{\varphi (q)}}\right|

où le max est pris sur tous les $a$ premiers avec $q$ .

Énoncé[modifier | modifier le code]

La conjecture d'Elliott-Halberstam est l'assertion que pour tout 0 < θ < 1 et tout A > 0, il existe une constante C , telle que pour tout $x$ ≥ 2 :

\sum _{1\leq q\leq x^{\theta }}E(x;q)\leq {\frac {Cx}{(\ln x)^{A}}}.

La conjecture d'Elliott Haltberstam pour une valeur de θ est notée EH [ θ ]^[1].

Avancées[modifier | modifier le code]

Pour le cas limite θ = 1, on sait que cette assertion EH [ 1 ] est fausse.

Pour les θ < ¹⁄₂, la conjecture EH [ θ ] a été démontrée dans les années 1960 par Enrico Bombieri^[2] et Askold Ivanovitch Vinogradov : c'est le théorème de Bombieri-Vinogradov ; ce résultat est déjà tout à fait utile, étant une forme moyennée de l'hypothèse de Riemann généralisée.

Conséquences de la conjecture[modifier | modifier le code]

La conjecture d'Elliott-Halberstam aurait, si elle était démontrée pour θ < 1, plusieurs conséquences frappantes. L'une d'elles est le résultat de Daniel Goldston, János Pintz et Cem Yıldırım^[3]^,^[4]^,^[5], qui montre qu'il existerait alors une infinité de paires de nombres premiers qui diffèrent d'au plus 16. Maynard a montré en décembre 2013 que sous la même hypothèse, il existerait alors une infinité de paires de nombres premiers qui diffèrent d'au plus 12. En 2014, le projet Polymath a montré qu'en supposant une version généralisée de EH [ θ ], pour 0 < θ < 1, l'écart pourrait être ramené à 6.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

↑ Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes, Abstract.
↑ (en) Enrico Bombieri, « On the large sieve », Mathematika, vol. 12,‎ 1965, p. 201–225 (DOI 10.1112/s0025579300005313, MR 0197425)
↑ (en) D. A. Goldston, J. Pintz et C. Y. Yıldırım, Primes in Tuples I, août 2005. « math.NT/0508185 », texte en accès libre, sur arXiv.
↑ (en) D. A. Goldston, Y. Motohashi, J. Pintz et C. Y. Yıldırım, Small gaps between primes exist, Proceedings of the Japan Academy Series A 82 (2006), 61-65. Version de mai 2005 disponible sur arXiv:math.NT/0505300 (en)
↑ (en) D. A. Goldston, S. W. Graham, J. Pintz et C. Y. Yıldırım, Small gaps between primes or almost primes, juin 2005. « math.NT/0506067 », texte en accès libre, sur arXiv.

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Elliott–Halberstam conjecture » (voir la liste des auteurs).
(en) E. Bombieri, « On the large sieve », Mathematika, vol. 12,‎ 1965, p. 201-225
(en) P. D. T. A. Elliot et H. Halberstam, « A conjecture in prime number theory », Symp. Math., vol. 4,‎ 1968-1969, p. 59-72
(en + ru) A. I. Vinogradov, « The density hypothesis for Dirichlet L-series », Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., vol. 29, 1965, p. 903-934

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Arithmétique et théorie des nombres

[1] Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes, Abstract.

[2] (en) Enrico Bombieri, « On the large sieve », Mathematika, vol. 12,‎ 1965, p. 201–225 (DOI 10.1112/s0025579300005313, MR 0197425)

[3] (en) D. A. Goldston, J. Pintz et C. Y. Yıldırım, Primes in Tuples I, août 2005. « math.NT/0508185 », texte en accès libre, sur arXiv.

[4] (en) D. A. Goldston, Y. Motohashi, J. Pintz et C. Y. Yıldırım, Small gaps between primes exist, Proceedings of the Japan Academy Series A 82 (2006), 61-65. Version de mai 2005 disponible sur arXiv:math.NT/0505300 (en)

[5] (en) D. A. Goldston, S. W. Graham, J. Pintz et C. Y. Yıldırım, Small gaps between primes or almost primes, juin 2005. « math.NT/0506067 », texte en accès libre, sur arXiv.

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