Concentration de contrainte

La fissure dans le béton a été amorcée par un « effet de pointe » (concentration de contrainte).

La concentration de contrainte est un phénomène survenant lorsque la section d'une pièce varie de manière brutale : trou (perçage), rainure, épaulement, gorge, fond de fissure, …

Constatation

Une pièce présente des points de fragilité dus à la forme. On constate que l'apparition des fissures, et la rupture, a en général lieu dans des zones présentant des angles vifs rentrants ou bien des perçages. Par exemple :

• sur un mur, les fissures partent souvent des angles des portes ou des fenêtres ;
• pour faire du papier prédécoupé (timbres non-autocollants, carnets à souche, chèques, coupons de réduction, vignette de référence d'un courier, vignette d'assurance automobile en France, …), on pratique de petits trous sur la périphérie de la zone à découper.

Calcul de la contrainte maximale

Abaque pour la détermination du coefficient de concentration de contrainte K_t dans le cas d'un arbre épaulé en traction.

Dans la théorie des poutres, on suppose que la section droite varie « lentement ». On peut alors déterminer les contraintes nominales :

• traction : $\sigma _{xx}={\frac {\mathrm {N} }{\mathrm {S} }}$ ;
• torsion d'une pièce circulaire : $\tau _{xy}(r)={\frac {\mathrm {M_{t}} }{\mathrm {I_{G}} }}\times r$, $\tau _{xy\ \mathrm {max} }={\frac {\mathrm {M_{t}} }{\mathrm {I_{G}} }}\times \mathrm {V}$ ;
• flexion autour de l'axe z : $\sigma _{xx}(y)={\frac {\mathrm {M} _{\mathrm {f} z}}{\mathrm {I} _{\mathrm {G} z}}}\times y$, $\sigma _{xx\ \mathrm {max} }={\frac {\mathrm {M} _{\mathrm {f} z}}{\mathrm {I} _{\mathrm {G} z}}}\times \mathrm {V}$.

où N est l'effort normal, S est l'aire de la section droite, les M sont des moments de flexion/torsion, les I sont des moments quadratiques axiale/polaire (ou « inerties ») et V est la distance à la fibre la plus éloignée.

Lorsque la section droite varie brutalement, ce calcul n'est plus valable. C'est le cas notamment lorsqu'il y a un épaulement, un congé, un perçage. On constate que les contraintes locales sont bien plus élevées que la contrainte nominale.

Dans la pratique, pour déterminer de manière simple (« à la main ») les contraintes maximales :

• on détermine les contraintes nominales σ₀ et τ₀, qui sont les contraintes calculées de manière classique sur la section la plus petite ;
• on détermine un coefficient de concentration de contraintes, K_t, à l'aide d'un abaque, selon la géométrie de la pièce et la nature de la sollicitation ;

les contraintes maximales valent alors :

σ_max = K_t1×σ₀

τ_max = K_t2×τ₀

(le K_t n'a aucune raison d'être le même pour la contrainte normale et la cission). On peut aussi remplacer ce calcul manuel par une mesure ou un calcul par éléments finis.

Cas des assemblages collés

Selon la théorie de Volkersen, il y a une concentration de contrainte aux bord des joints de colles qui augmente avec la longueur du joint. Cette augmentation limite la force transmissible par unité de largeur du joint collé.

Voir aussi

Bibliographie

• (en) E. F. Bruhn, Analysis and Design of Flight Vehicle Structures, Jacobs Publishing Inc., 1973 (ISBN 978-0-9615234-0-4)
• Jean-Louis Fanchon, Guide de mécanique : Sciences et technologies industrielles, Nathan, 2001, 543 p. (ISBN 978-2-09-178965-1), p. 284-286, 312-313, 339-340
• (en) Walter D. Pilkey, Peterson's stress concentration factor, 2, 1997, 544 p. (ISBN 978-0-471-53849-3)