Complément d'un sous-groupe

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Définition[modifier | modifier le code]

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, on dit[1] qu'étant donné un sous-groupe H d'un groupe G, un sous-groupe K de G est un complément de H dans G si les deux conditions suivantes sont satisfaites :

1)\qquad HK = G~;
2)\qquad H \cap K = 1.

(où 1 désigne le sous-groupe de G réduit à l'élément neutre).

Par exemple en passant aux inverses, on vérifie facilement que la condition 1) équivaut à KH = G ; d'autre part, il est clair que la condition 2) équivaut à KH = 1. Dès lors, dire que H est un complément de K revient à dire que K est un complément de H. Cela revient encore à dire que tout élément de G peut se mettre d'une et une seule façon sous la forme hk, avec h dans H et k dans K.

Si H et K sont compléments l'un de l'autre dans G, la formule du produit (théorie des groupes) donne

\ \vert G \vert = \vert H\vert \cdot \vert K \vert .

Exemples et contre-exemples[modifier | modifier le code]

  • Soient G un groupe fini, H et K deux sous-groupes de G dont les ordres |H| et |K| sont premiers entre eux et tels que |H|∙|K| = |G| ; alors H et K sont compléments l'un de l'autre dans G. En effet, HK est sous-groupe de H et de K, donc son ordre |HK| divise les ordres de H et de K ; puisque ces deux derniers ordres sont premiers entre eux, |HK| est donc égal à 1, donc la condition 2) de la définition est satisfaite. D'autre part, d'après la formule du produit (théorie des groupes), l'ensemble HK a pour cardinal
    \frac{\vert H\vert \cdot \vert K \vert}{\vert H \cap K \vert} = \vert G \vert,
    donc la condition 1) de la définition est elle aussi satisfaite.
  • Si un groupe G est produit semi-direct d'un sous-groupe H par un sous-groupe K, H et K sont des compléments l'un de l'autre dans G. C'est le cas en particulier si G est produit direct de H et de K.
  • Si p désigne un nombre premier et n un nombre naturel, l'ensemble des sous-groupes du groupe cyclique Z/pnZ est totalement ordonné par inclusion. Il en résulte qu'aucun sous-groupe propre et non nul de Z/pnZ n'a de complément dans Z/pnZ.
  • Plus généralement, si G est un groupe cyclique (nous prendrons ici cette expression au sens de groupe monogène fini), un sous-groupe H de G admet un complément dans G si et seulement si c'est un sous-groupe de Hall de G (c'est-à-dire si |H| et |G/H| sont premiers entre eux).

Puisqu'un groupe cyclique admet au plus un sous-groupe d'un ordre donné, le complément de H est unique dans ce cas.

  • Un sous-groupe propre et non nul du groupe additif (ℚ, +) des nombres rationnels n'a pas de complément dans (ℚ, +). (En effet, deux sous-groupes non nuls de (ℚ, +) ont toujours un élément non nul en commun, car si a/b est un élément du premier et c/d un élément du second, avec a, b, c et d entiers rationnels non nuls, ac appartient aux deux sous-groupes.)

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Voir par exemple W.R. Scott, Group Theory, réimpr. Dover 1987, p. 137.

Articles connexes[modifier | modifier le code]