Chute avec résistance de l'air

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Parachutistes en chute libre utilisant la résistance de l'air avant le déploiement du parachute.

En physique, on désigne par chute avec résistance de l'air la modélisation du problème de la chute d'un corps, généralement sous atmosphère terrestre, dans laquelle on prend en compte l'influence du frottement fluide, de l'air sur l'objet, sur la chute. Ce modèle est donc différent du modèle de chute libre, dans lequel seul l'effet du poids est considéré.

Description du mouvement[modifier | modifier le code]

Lorsqu'un corps chute dans l'atmosphère, sous l'effet de la pesanteur, il est également soumis à d'autres forces, dont notamment la résistance de l'air et la poussée d'Archimède. Le modèle de la chute libre néglige ces forces, et ne considère que l'action de la pesanteur sur le corps en chute ; le modèle de la chute avec résistance de l'air s'appuie sur le modèle de la chute libre, mais le précise en prenant en considération la résistance de l'air.

L'essentiel de la différence avec le modèle de chute libre est que la vitesse ne croît pas linéairement, mais tend vers une vitesse limite de chute.

Modélisation[modifier | modifier le code]

Dans cette approche de la chute d'un objet, seules deux forces sont prises en compte :

  • le poids,  ;
  • la résistance de l'air, .

Résolution à vitesse initiale nulle[modifier | modifier le code]

Au départ, la vitesse est nulle. La résistance de l'air est donc nulle également. L'objet se comporte donc comme s'il était en chute libre. Au fur et à mesure que l'objet accélère, la résistance de l'air augmente, ce qui diminue son accélération. Au temps long, le frottement de l'air tend à compenser le poids. L’accélération tend alors vers 0 et la vitesse tend vers une valeur limite, la vitesse limite de chute. Cette vitesse limite de chute n'est jamais atteinte.

La vitesse limite de chute , est la vitesse pour laquelle le poids compenserait exactement la résistance de l'air. Elle vaut :

.

En posant et , la position de l'objet en fonction du temps peut s'écrire comme suit :

ou

La vitesse en fonction du temps peut s'écrire comme suit :

Application numérique[modifier | modifier le code]

Soit g=9,81 m/s2 l'accélération de la pesanteur. La masse volumique de l'air est ρ = 1,22 kg/m3.

On considère une balle de tennis de masse 57 g et de rayon 3,3 cm[1] ; et une boule de pétanque de masse 700 g[2] et de rayon 3,7 cm[3] que l'on jette du deuxième étage, soit à une hauteur approximative h de 7 m. La position de l'objet est donné par la formule suivante[4] :

On obtient donc :

Soit :

On remplace V0 et l'on obtient :

Le coefficient de traînée pour une balle de tennis est [5].

Le coefficient de traînée pour une sphère lisse est [6].


Pour la balle de tennis, l'on obtient tt = 1,224 s et pour la boule de pétanque, l'on obtient tp = 1,197 s

Il existe donc une différence de temps de chute de 2.5% qui est mesurable. Si les 2 objets sont lancés exactement en même temps, on devrait être capable d'entendre clairement la différence de temps lors de l'impact.

On considère maintenant la même expérience mais à partir du haut de la Tour de Pise qui a une hauteur de 56 m[7].

Dans le cas d'une balle de tennis, on obtiendra : t= 4,07 s.

Dans le cas d'une boule de pétanque, on obtiendra : t=3,43 s.

La différence entre les 2 temps de chute estimés est loin d'être négligeable et est de plus d'½ seconde et devrait facilement être mise en évidence[Note 1].

Discussion lorsque est petit[modifier | modifier le code]

On a alors :

On rappelle que . Après substitution, on obtient :

On substitue V₀ et k et donc :

ce qui correspond à la formule usuelle lorsque la résistance de l'air est négligeable.

Et Galilée ?[modifier | modifier le code]

Galilée a-t-il fait l'expérience ? Celle de la tour de Pise ? Koyré le nie. Il argumente sans nul doute avec raison. Bellone, sans contredire Koyré, indique que Galilée avait déjà compris que la résistance était proportionnelle à la masse volumique de l'air (voire de l'eau) et au maître-couple de l'objet, et un coefficient . Cependant, il ne sait sans doute pas qu'elle est proportionnelle à . Il sait que la loi est fausse aux grandes valeurs. Mersenne l'a confirmé. Pour aller au-delà, il lui aurait fallu trouver . Torricelli y est presque en 1644 : il sait que croît moins vite que x.

En réalité, le siècle n'est pas mûr pour cela : Galilée ne manipule pas encore des quantités avec unités : tout est rapporté à des distances, comme du temps des Grecs. Et c'est seulement vers 1700 que tous ces calculs seront faits (en particulier par Bernoulli).

Le mouvement violent[modifier | modifier le code]

On appelle mouvement violent le mouvement de la boule lancée avec une vitesse initiale non nulle, ici selon la verticale.

Il est intéressant de comparer les deux mouvements (par exemple en considérant que le choc au sol est élastique).

L'équation différentielle s'intègre : donne :

,

et

.

Ce qui permet de comparer :

,

d'où

,

soit un rapport 2,908/3,204,

et

soit

.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Il a parfois été affirmé imprudemment que la résistance de l'air pour une balle de tennis et une boule de pétanque était négligeable et donc ces 2 objets seraient censés arriver au sol en pratique en même temps. Les simulations numériques supra montrent que ce n'est pas toujours vrai et qu'une certaine prudence s'impose[8]. L'affirmation de Claude Allègre que la résistance de l'air à une vitesse donnée d'une balle de tennis et d'une boule de pétanque est approximativement la même[8] (même maître couple et coefficients de traînée similaires) est correcte. Cependant, son raisonnement tient du sophisme car les vitesses terminales de ces objets diffèrent d'un facteur 3, ce qui explique que la boule de pétanque arrivera stricto sensu la première.

Références[modifier | modifier le code]

  1. « Caractéristiques des balles de tennis officielles » (consulté le 10 novembre 2018)
  2. Obut, « Les poids » (consulté le 10 novembre 2018)
  3. Obut, « Les diamètres » (consulté le 10 novembre 2018)
  4. (en) « Freefall From Specified Height »
  5. (en) Chadwick S.G et al., « The drag coefficient of tennis balls », Engineering of sports conference,‎ , p. 174 (lire en ligne [PDF])
  6. (en) J.M Cimbala, « Drag on Spheres », (consulté le 10 novembre 2018)
  7. (en) John H. Lienhard, « THE LEANING TOWER OF PISA » (consulté le 10 novembre 2018)
  8. a et b « Allègre a les boules », Le Canard Enchaîné,‎ (lire en ligne)

Voir aussi[modifier | modifier le code]