Cent (musique)

Le cent et le savart sont des unités de mesure fine des intervalles musicaux, basés tous deux sur une échelle logarithmique par rapport à la fréquence fondamentale d'un son musical.

Le savart vaut environ quatre cents.

Dans la théorie des gammes et tempéraments, ces unités permettent de calculer avec précision les intervalles propres à un système et de quantifier les différences entre eux. En ethnomusicologie, elles permettent de relier les mesures effectuées sur des enregistrements au système de notation de la musique occidentale.

Le savart fut défini à partir du logarithme à base dix (dont les tables étaient les plus courantes) au début du XIX^e siècle. Le cent est la centième partie du demi-ton ; utilisé communément par les acousticiens, il a été conçu et décrit par Alexandre J. Ellis en 1880.

Le savart

Son nom vient de Félix Savart (1791-1841), célèbre pour ses travaux sur l'acoustique.

L'intervalle en savarts entre deux fréquences est égal à mille fois le logarithme décimal de leur rapport.

L'intervalle en savarts entre deux sons de fréquence fondamentale $f_{1}$ et $f_{2}$ est ainsi :

$\sigma =1000\cdot \log \left({\frac {f_{2}}{f_{1}}}\right)$

Quand une note est à l'octave d'une autre, sa fréquence fondamentale est double. Le logarithme décimal de 2 est approximativement 0,30103, l'octave correspond par conséquent à environ 301 savarts.

On arrondit parfois, après Alexander Wood, le savart à 1÷300 d'octave. Un demi-ton équivaut ainsi à 25 savarts.

Le plus petit intervalle perceptible par un auditeur attentif est proche d'un savart. Le seuil de discrimination humain entre deux sons purs de fréquences proches varie selon les fréquences et le volume sonore, avec un minimum aux alentours de 1 500 Hz (sol⁵), où, pour des sujets entraînés et un niveau sonore moyen ou fort, il peut diminuer jusqu'à 0,25 %, soit environ 1 savart. Au-dessus du do³ (261 Hz), le seuil est toujours inférieur à 2 savarts ; mais plus bas, il augmente nettement, et pour le do⁰ à 32,7 Hz), il est d'environ 10 savarts; mais comme les sons musicaux de fréquence inférieure à la moitié de celles de la plage de meilleure discrimination contiennent des partiels harmoniques dans cette région, le plus petit intervalle décelable reste, pour ces sons, presque identique au minimum.

Connaissant un intervalle musical exprimé en savarts, on retrouve le rapport des fréquences fondamentales par

${\frac {f_{2}}{f_{1}}}=10^{\frac {\sigma }{1000}}$

Le cent

Un cent se définit comme le centième du demi-ton tempéré.

Le demi-ton tempéré est donc égal à 100 cents et l'octave à 1200 cents (la gamme chromatique tempérée étant composée de 12 demi-tons identiques). La valeur en cents de l'intervalle entre deux notes de fréquences fondamentales $f_{1}$ et $f_{2}$, est :

$c=1200\cdot \log _{2}\left({\frac {f_{2}}{f_{1}}}\right)$

Le cent, égal à 1 200 fois la valeur du logarithme en base 2 ($\log _{2}$) du rapport entre les fréquences fondamentales, se calcule en multipliant par 1200 le quotient du logarithme du rapport par le logarithme de 2.

Un intervalle exprimé en cents se convertit inversement en rapport de fréquence par

${\frac {f_{2}}{f_{1}}}=2^{\frac {c}{1200}}$

Équivalences

L'équivalence entre cents et savarts se calcule aisément selon :

$1\,{\text{savart}}={\frac {1{,}2}{\log 2}}\ {\text{cent}}\approx {\frac {1{,}2}{0,30103}}\ {\text{cent}}\approx 3{,}986\,{\text{cent}}$

Le tableau suivant permet de comparer les deux échelles de mesure (valeurs arrondies à trois chiffres significatifs).

Comparaison entre les deux unités

Rapport de fréquences	Écart en cents	Écart en savarts
1	0	0
≈1,0006	1	≈0,251
≈1,002	≈3,99	1
1,01	≈17,2	≈4,32
≈1,06	100 (demi-ton)	25,1
1,1	≈165	≈41,4

Histoire

L'intérêt pour l'utilisation musicale des logarithmes est presque aussi ancienne que les logarithmes eux-mêmes, inventés par Lord Napier en 1614. Dès 1647, Juan Caramuel y Lobkowitz (1606-1682) décrit dans une lettre à Athanasius Kircher l'usage des logarithmes à base 2 en musique. Dans cette base, l'octave vaut 1, le demi-ton 1/12, etc.

Joseph Sauveur a proposé dans ses Principes d'acoustique et de musique de 1701 l'utilisation des logarithmes à base dix, probablement parce que les tables en étaient plus facilement disponibles; il a utilisé des logarithmes calculés avec trois décimales. Le logarithme décimal de 2 vaut approximativement 0,301, que Sauveur propose de multiplier par 1000 pour obtenir des unités valant 1/301^e d'octave. Pour travailler sur des unités plus maniable, il suggère de prendre sept 1/301^es, pour obtenir des unités d'1/43^e d'octave. L'octave est donc divisée en 43 parties, appelées « mérides », elles-mêmes divisées en 7 parties, les « heptamérides »; Sauveur a encore envisagé la possibilité de diviser chaque heptaméride en 10 « décamérides », mais il ne fait pas lui-même réellement usage de cette unité microscopique.

C'est ce système que Savart a repris, mais sans préciser le nombre de décimales à considérer dans le logarithme de 2, de sorte que la valeur exacte du savart varie selon les sources. Le logarithme décimal de 2 vaut plus précisément 0,30103, donnant 301,03 savarts dans l'octave. Mais cette valeur est souvent arrondie à 1/300^e d'octave. Outre le décaméride de Sauveur, d'autres subdivisions ont été proposées, notamment la division de l'octave en 30103 parties (soit 100000 fois le logarithme de 2), appelée atom par le mathématicien anglais Auguste de Morgan (1806 - 1871) et jot par John Curwen (1816 - 1880) sur une suggestion de Hermann von Helmholtz. Des valeurs aussi petites n'ont cependant qu'un intérêt théorique.

Au début du XIX^e siècle Gaspard de Prony propose d'exprimer de façon décimale les intervalles en utilisant une graduation « analogue à la nature des quantités soumises au calcul », une échelle logarithmique à base ${\sqrt[{12}]{2}}$, dans laquelle l'unité correspond à un demi-ton au tempérament égal. L'unité est plus tard connue sous le nom de prony. Alexander John Ellis décrit en 1880 un nombre élevé de diapasons anciens qu'il avait relevés ou calculés. Notant que le baron de Prony avait proposé « le système qui mesure les intervalles en demi-tons égaux et fractions », il indique l'intervalle en demi-tons avec deux décimales, c'est-à-dire avec une précision au centième de demi-ton, qui les sépare d'un diapason grave théorique, la³ = 370 Hz, pris comme point 0 de référence.

Ellis publie en 1885 « On the Musical Scales of Various Nations » (Des échelles musicales de différentes nations ), dans lequel il compare les intervalles, exprimés en centièmes de demi-ton, d'échelles musicales décrites par diverses théories musicales non européennes. La musicologie comparée, qui s'intitule ethnomusicologie depuis le milieu du XX^e siècle, utilise largement cette unité à laquelle Ellis a donné le nom de cent.

Annexes

Bibliographie

• Pierre-Yves Asselin, Musique et tempérament, Éditions JOBERT, 2000, 236 p. (ISBN 2-905335-00-9)
• (en) A. G. Pikler, « Logarithmic Frequency Systems », Journal of the Acoustical Society of America, vol. 39, n^o 1102,‎ 1966 (présentation en ligne)

Articles connexes

• midicent
• prony

Liens externes

• Fonction de conversion des rapports de fréquence en cents (et inversément) pour tableurs Excel: En ligne

---