Catégorie groupoïde

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En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des catégories et en topologie algébrique, la notion de groupoïde généralise à la fois les notions de groupe, de relation d'équivalence sur un ensemble, et de l'action d'un groupe sur un ensemble. Elle a été initialement développée par Heinrich Brandt (en) en 1927[1].

Les groupoïdes sont souvent utilisés pour représenter certaines informations sur des objets topologiques ou géométriques comme les variétés.

Définitions

Définition au sens des catégories

Un groupoïde est une petite catégorie dans laquelle tout morphisme est un isomorphisme.

Définition algébrique

Un groupoïde G est un ensemble muni de deux opérations : une loi de composition partiellement définie et une application (partout définie) , qui satisfont les trois conditions suivantes sur les éléments f, g et h de G :

  • Chaque fois que et sont définis simultanément, alors et sont aussi définis, et sont égaux, on les note ou . Réciproquement, si ou sont définis, il en est de même de et  ;
  • et sont toujours définis (mais éventuellement différents) ;
  • Chaque fois que est défini, alors , et . (Ces expressions sont bien définies d'après les axiomes précédents).

On montre alors que :

  • Si alors . Il suffit en effet de composer à droite par  ;
  • Si alors . Il suffit en effet de composer à gauche par  ;
  • . En effet,  ;
  • Si est défini, il en est de même de , et . En effet, donc ce qui suffit à assurer l'existence de . Par ailleurs, et il suffit de simplifier à gauche , et .

Lien entre les deux notions

À un groupoïde au sens des catégories, on peut associer le groupoïde au sens algébrique des (iso)morphismes de cette catégorie.

Réciproquement, si G est un groupoïde au sens algébrique, on peut lui associer un groupoïde au sens des catégories de la façon suivante. Les objets de la catégorie associée sont les lorsque varie (on remarque que ces éléments vérifient : ). L'ensemble des morphismes x→y, noté , est l'ensemble des h tels que est défini (cet ensemble pouvant être vide).

Exemples

  • Les groupes sont des groupoïdes (avec un seul objet et pour ensemble de flèches (morphismes) ).
  • Le groupoïde de Poincaré est un groupoïde.
  • Toute réunion disjointe de groupes est un groupoïde, dont l'ensemble des objets est l'ensemble des indices.
  • À partir d'une action de groupe on peut définir un groupoïde en posant G(x,y) = l'ensemble des éléments du groupe qui envoient x sur y.

Propriétés

Les (petits) groupoïdes forment eux-mêmes une catégorie, les morphismes étant les foncteurs entre groupoïdes. Le groupoïde initial est le groupoïde vide et le groupoïde final est le groupe trivial.

Soit G un groupoïde, on définit la relation d'équivalence si G(x,y) est non vide. Elle définit un groupoïde quotient noté . définit un foncteur (composantes connexes) de la catégorie des groupoïdes vers la catégorie des ensembles.

Soient G un groupoïde et un objet de G (on dit aussi un point de G). La loi de composition entre les flèches de restreinte à ce sous-groupoïde est une loi de groupe. On note ce groupe.

Notes et références

  1. (de) H. Brandt, « Über eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes », Mathematische Annalen, vol. 96,‎ , p. 360-366 (lire en ligne).