Carré magique d'inverses de nombres premiers

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En mathématiques, un inverse est le nombre 1 divisé par un autre nombre (aussi appelé fraction unitaire), comme 1/3 ou 1/7. En base 10, le reste, et donc les chiffres, de 1/3 se répètent une fois : 0,3333… Néanmoins, la période répétitive du développement décimal de 1/7 est de six chiffres = 0,142857142857142857… Les multiples de 1/7 sont des permutations cycliques de ces six chiffres :

1/7 = 0,1 4 2 8 5 7…
2/7 = 0,2 8 5 7 1 4…
3/7 = 0,4 2 8 5 7 1…
4/7 = 0,5 7 1 4 2 8…
5/7 = 0,7 1 4 2 8 5…
6/7 = 0,8 5 7 1 4 2…

Si ces chiffres sont disposés dans un carré, chaque ligne donnera la somme 1+4+2+8+5+7, ou 27, et seulement légèrement moins évident que chaque colonne donnera aussi le même nombre, et par conséquent, nous avons un carré magique :

1 4 2 8 5 7
2 8 5 7 1 4
4 2 8 5 7 1
5 7 1 4 2 8
7 1 4 2 8 5
8 5 7 1 4 2

Néanmoins, aucune diagonale ne donnera 27, mais tous les autres inverses de nombres premiers en base 10 avec une période maximum p-1 produisent des carrés dans lesquels toutes les lignes et les colonnes ont une somme identique. Dans le carré produit à partir de 1/19, avec la période maximale de 18 et les sommes lignes-colonnes égales à 81, les deux diagonales ont aussi pour somme 81, et ce carré est par conséquent pleinement magique :

01/19 = 0,0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1
02/19 = 0,1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2…
03/19 = 0,1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3…
04/19 = 0,2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4…
05/19 = 0,2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5…
06/19 = 0,3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6…
07/19 = 0,3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7…
08/19 = 0,4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8…
09/19 = 0,4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9…
10/19 = 0,5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0…
11/19 = 0,5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1…
12/19 = 0,6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2…
13/19 = 0,6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3…
14/19 = 0,7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4…
15/19 = 0,7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5…
16/19 = 0,8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6…
17/19 = 0,8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7…
18/19 = 0,9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8

Le même phénomène apparaît avec d'autres nombres premiers dans d'autres bases. La table suivante liste certains d'entre eux, donnant le nombre premier, la base, et le total magique (dérivé à partir de la formule : base-1 x nombre premier-1 / 2) :

Nombre premier Base Total
19 10 81
53 12 286
53 34 858
59 2 29
67 2 33
83 2 41
89 19 792
167 68 5 561
199 41 3 960
199 150 14 751
211 2 105
223 3 222
293 147 21 316
307 5 612
383 10 1 719
389 360 69 646
397 5 792
421 338 70 770
487 6 1 215
503 420 105 169
587 368 107 531
593 3 592
631 87 27 090
677 407 137 228
757 759 286 524
787 13 4 716
811 3 810
977 1 222 595 848
1 033 11 5 160
1 187 135 79 462
1 307 5 2 612
1 499 11 7 490
1 877 19 16 884
1 933 146 140 070
2 011 26 25 125
2 027 2 1 013
2 141 63 66 340
2 539 2 1 269
3 187 97 152 928
3 373 11 16 860
3 659 126 228 625
3 947 35 67 082
4 261 2 2 130
4 813 2 2 406
5 647 75 208 902
6 113 3 6 112
6 277 2 3 138
7 283 2 3 641
8 387 2 4 193