Carré latin

Un carré latin est un tableau carré de n lignes et n colonnes remplies de n éléments distincts dont chaque ligne et chaque colonne ne contient qu'un seul exemplaire. La plupart du temps, les n éléments utilisés sont les entiers compris entre 0 et n-1.

Voici un exemple de carré latin : ${\begin{bmatrix}0&1&2&3\\1&2&3&0\\2&3&0&1\\3&0&1&2\\\end{bmatrix}}$

Histoire[modifier | modifier le code]

Ce jeu semble être une création du mathématicien suisse Leonhard Euler (1707 - 1783)^[1], probablement inspiré par le carré magique indien. Qui inspira probablement en 1895 le « Carré magique diabolique » à l'origine du Sudoku.

En mathématiques[modifier | modifier le code]

En permutant deux lignes ou deux colonnes d'un carré latin, on obtient encore un carré latin.

À une bijection près sur les n éléments, et à des permutations près sur les lignes et les colonnes, il n'existe qu'un seul carré latin d'ordre 3

Carré latin correspondant au groupe cyclique (Z/3Z; +)

${\begin{bmatrix}0&1&2\\1&2&0\\2&0&1\\\end{bmatrix}}\quad \quad$

En revanche il existe deux carrés latins d'ordre 4 (si l'on ne tient pas compte des permutations ou des éventuelles bijections sur les n éléments) :

Carré latin correspondant au groupe cyclique (Z/4Z; +)	${\begin{bmatrix}0&1&2&3\\1&2&3&0\\2&3&0&1\\3&0&1&2\\\end{bmatrix}}$
Carré latin correspondant au groupe de Klein	${\begin{bmatrix}0&1&2&3\\1&0&3&2\\2&3&0&1\\3&2&1&0\\\end{bmatrix}}$