Carré latin

Un carré latin est un tableau carré de n lignes et n colonnes remplies de n éléments distincts dont chaque ligne et chaque colonne ne contient qu'un seul exemplaire. La plupart du temps, les n éléments utilisés sont les entiers compris entre 0 et n-1.

Voici un exemple de carré latin : ${\begin{bmatrix}0&1&2&3\\1&2&3&0\\2&3&0&1\\3&0&1&2\\\end{bmatrix}}$${\begin{bmatrix}0&1&2&3\\1&2&3&0\\2&3&0&1\\3&0&1&2\\\end{bmatrix}}$

Histoire

Ce jeu semble être une création du mathématicien suisse Leonhard Euler (1707 - 1783), probablement inspiré par le carré magique indien. Qui inspira probablement en 1895 le « Carré magique diabolique » à l'origine du Sudoku.

En mathématiques

En permutant deux lignes ou deux colonnes d'un carré latin, on obtient encore un carré latin.

À une bijection près sur les n éléments, et à des permutations près sur les lignes et les colonnes, il n'existe qu'un seul carré latin d'ordre 3

Carré latin correspondant au groupe cyclique (Z/3Z; +)

${\begin{bmatrix}0&1&2\\1&2&0\\2&0&1\\\end{bmatrix}}\quad \quad$${\begin{bmatrix}0&1&2\\1&2&0\\2&0&1\\\end{bmatrix}}\quad \quad$

En revanche il existe deux carrés latins d'ordre 4 (si l'on ne tient pas compte des permutations ou des éventuelles bijections sur les n éléments) :

Carré latin correspondant au groupe cyclique (Z/4Z; +)	${\begin{bmatrix}0&1&2&3\\1&2&3&0\\2&3&0&1\\3&0&1&2\\\end{bmatrix}}$${\begin{bmatrix}0&1&2&3\\1&2&3&0\\2&3&0&1\\3&0&1&2\\\end{bmatrix}}$
Carré latin correspondant au groupe de Klein	${\begin{bmatrix}0&1&2&3\\1&0&3&2\\2&3&0&1\\3&2&1&0\\\end{bmatrix}}$${\begin{bmatrix}0&1&2&3\\1&0&3&2\\2&3&0&1\\3&2&1&0\\\end{bmatrix}}$

Les carrés latins sont les tables d'opérations de quasigroupes finis et ont un lien étroit avec les carrés magiques.

Héraldique

Le carré latin apparaît dans le blason de la Société statistique du Canada ainsi que dans le logo de la Société biométrique internationale (en).

Voir aussi

Articles connexes

• Carré magique
• Carré gréco-latin - la combinaison de deux carrés latins orthogonaux
• Sudoku (jeu qui s'inspire des carrés latins)
• Échantillonnage par hypercube latin

Lien externe

Carrés latins et gréco-latins, un début vers les carrés magiques, sur villemin.gerard.free.fr