Caractéristique d'un anneau

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En algèbre, la caractéristique d'un anneau (unitaire) A est par définition l'ordre pour la loi additive de l'élément neutre de la loi multiplicative si cet ordre est fini; si cet ordre est infini, la caractéristique de l'anneau est par définition l'entier naturel zéro.

On note, pour un anneau unitaire (A,+,×), 0A l'élément neutre de « + » et 1A celui de « × ».

La caractéristique d'un anneau A est donc le plus petit entier naturel non nul n tel que

{\ n.1_A~=~\underbrace{1_A+1_A+\cdots+1_A }_{n\; termes}~=~0_A}~

si un tel entier existe. Dans le cas contraire (autrement dit si 1A est d'ordre infini) la caractéristique est nulle.

Remarque. La présente définition est conforme à des ouvrages publiés au XXIe siècle[1]. Bourbaki[2] dit explicitement ne définir la caractéristique d'un anneau que si cet anneau contient un corps. S. Lang[3] considère l'idéal de Z formé par les n tels que n.1A = 0; si cet idéal est premier, c'est-à-dire de la forme aZa est un entier naturel égal à zéro ou à un nombre premier, il définit la caractéristique de A comme étant le nombre a. Il ne la définit pas dans le cas contraire.

L'homomorphisme de Z dans A[modifier | modifier le code]

Il existe un unique homomorphisme d'anneaux unitaires f de \scriptstyle\Z dans A ( \scriptstyle\Z est en effet un objet initial de la catégorie des anneaux). Par définition, si n est un nombre entier strictement positif, on a :

f(n)=1_A+\cdots+1_A\,,

où 1A est répété n fois. Comme \scriptstyle\Z est un anneau euclidien, le noyau de f est un idéal principal et, par définition, la caractéristique de A est son générateur positif. Plus explicitement, c'est l'unique nombre entier positif ou nul c tel que le noyau de f soit l'idéal \scriptstyle c\Z.

Propriétés sur les anneaux[modifier | modifier le code]

  • La caractéristique d'un anneau A est l'unique entier c positif ou nul tel que \scriptstyle\Z/c\Z soit un sous-anneau unitaire de A.

Ceci résulte de la définition ci-dessus et du théorème de factorisation. On en déduit en particulier :

  • Si B est un sous-anneau unitaire de A, alors A et B ont même caractéristique.
  • Les anneaux de caractéristique nulle sont ceux dont \scriptstyle\Z est un sous-anneau unitaire. Ils sont donc infinis.
C'est le cas du corps \scriptstyle\C des nombres complexes et de tous ses sous-anneaux unitaires, comme le corps \scriptstyle\R des nombres réels ou le corps \scriptstyle\Q des nombres rationnels.
En effet, l'homomorphisme \scriptstyle\Z\to A est croissant. Tout entier strictement positif est envoyé sur un élément strictement positif de l'anneau, a fortiori différent de 0.
C'est par exemple le cas de \scriptstyle\R (et ses sous-anneaux unitaires).
En effet, si \scriptstyle\Z/c\Z est un sous-anneau unitaire d'un anneau intègre alors il est lui-même intègre, donc c est nul ou premier.
  • Pour tout homomorphisme d'anneaux unitaires g:AB, la caractéristique de B divise celle de A.

En effet, l'homomorphisme d'anneaux unitaires \scriptstyle\Z\to B est l'homomorphisme composé g o f. Si p et q sont les caractéristiques respectives de A et de B, le noyau de g o f est donc \scriptstyle q\Z, or g (f (p))=g(0A)=0B, si bien que \scriptstyle q\Z contient p, autrement dit q divise p.

  • Si A est un anneau commutatif, et si sa caractéristique est un nombre premier p, alors pour tous éléments x, y dans A, on a (x+y)p=xp+yp. L'application qui à x associe xp est un endomorphisme d'anneau appelé endomorphisme de Frobenius.

Le résultat découle immédiatement de la formule du binôme de Newton et de ce que p divise les coefficients binomiaux apparaissant dans le développement.

Propriétés sur les corps[modifier | modifier le code]

Comme pour tout anneau intègre, la caractéristique d'un corps K est soit 0, soit un nombre premier p. De plus, dans le second cas, comme pour tout anneau de caractéristique p non nulle, K contient une copie de \scriptstyle\Z/p\Z qui (puisqu'ici p est premier) est un corps : c'est l'unique corps fini Fp à p éléments.

  • Tout corps de caractéristique nulle contient une copie de \scriptstyle\Q.

En effet, un tel corps K contient déjà (comme tout anneau de caractéristique nulle) une copie de \scriptstyle\Z. Comme K est un corps, il contient donc le corps des fractions de \scriptstyle\Z, à savoir le corps \scriptstyle\Q des rationnels. Tout corps possède donc un sous-corps minimal, son corps premier, isomorphe (selon sa caractéristique) à un corps fini Fp ou au corps \scriptstyle\Q.

  • Tout corps fini a pour caractéristique un nombre premier, et pour cardinal une puissance de ce nombre.

Si K est un corps fini il est, comme tout anneau fini, de caractéristique non nulle. Par ce qui précède, sa caractéristique est donc un nombre premier p et K contient une copie du corps Fp. De fait, K est un espace vectoriel sur Fp. Donc son cardinal est p à la puissance sa dimension (laquelle, de ce fait, est nécessairement finie, autrement dit K est une extension finie de Fp).

  • Pour tout nombre premier p, il existe des corps infinis de caractéristique p  :

par exemple le corps des fractions rationnelles sur Fp ou la clôture algébrique de Fp.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Par exemple (en) Joseph Gallian (en), Contemporary Abstract Albegra, Cengage Learning,‎ 2010 (ISBN 978-0-54716509-7, lire en ligne), p. 252-253.
  2. N. Bourbaki, Algèbre, chapitres 4 à 7, Masson,‎ 1981, p. V.2.
  3. S. Lang, Algèbre, Dunod,‎ 2004, p. 97.