Brique d'Euler

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Une brique d'Euler (du nom du mathématicien Leonhard Euler) est un parallélépipède rectangle dont les côtés et les diagonales des faces ont des longueurs entières.

Formulation arithmétique[modifier | modifier le code]

Les dimensions d'une brique d'Euler correspondent à une solution au système d'équations diophantiennes :

\begin{cases} a^2 + b^2 = d^2\\ b^2 + c^2 = e^2\\ a^2 + c^2 = f^2\end{cases}

Euler a trouvé au moins deux solutions paramétriques à ce problème, mais n'a pas donné toutes les solutions[1].

Propriété[modifier | modifier le code]

Pour une brique d'Euler donnée de côtés (a, b, c), le triplet (bc, ac, ab) constitue également une brique d'Euler.

Exemples[modifier | modifier le code]

La plus petite brique d'Euler, découverte par Paul Halcke en 1719, a pour côtés (a, b, c) = (44, 117, 240) et les diagonales des faces sont 125, 244, et 267.

Voici 9 autres solutions pour lesquelles on donne les longueurs des côtés sous forme d'un triplet (a, b, c) :

  • (85, 132, 720) et les diagonales des faces sont 157, 725 et 732
  • (140, 480, 693)et les diagonales des faces sont 500, 707 et 843
  • (160, 231, 792)et les diagonales des faces sont 281, 808 et 825
  • (187, 1020, 1584)et les diagonales des faces sont 1037, 1595 et 1884
  • (195, 748, 6336)et les diagonales des faces sont 773, 6339 et 6380
  • (240, 252, 275)et les diagonales des faces sont 348, 365 et 373
  • (429, 880, 2340)et les diagonales des faces sont 979, 2379, 2500
  • (495, 4888, 8160)et les diagonales des faces sont 4913, 8175 et 9512
  • (528, 5796, 6325)et les diagonales des faces sont 5820, 6347 et 8579

Brique parfaite d'Euler[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Brique parfaite d'Euler.

Une brique parfaite d’Euler est un parallélépipède rectangle dont les côtés, les diagonales des faces et la diagonale principale qui joint deux sommets opposés ont toutes des longueurs entières. Aucun exemple de cette brique parfaite n’est connu à ce jour.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. « Euler Brick », sur Mathworld (consulté le 14 juillet 2010)

Articles connexes[modifier | modifier le code]