Axiome (mathématiques élémentaires)

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Un axiome est une affirmation de base que l'on considère comme vraie. D'un ensemble d'axiomes, on peut déduire toute une branche des mathématiques.

Axiome et axiomatique[modifier | modifier le code]

En logique mathématique, une théorie mathématique repose sur un groupe d'axiomes (de départ) appelée axiomatique. Cependant les axiomes les plus célèbres (axiome du choix, Hypothèse du continu, axiome d'Euclide) sont des axiomes surajoutés ; ils n'appartiennent pas à l'axiomatique de départ, et l'on évite autant que possible d'y recourir, pour ne pas réduire la portée d'un résultat.

L'exemple de l'axiome d'Euclide[modifier | modifier le code]

L'un des axiomes les plus célèbres est sans doute dû à Euclide. Il affirme que par un point donné passe une unique parallèle à une droite donnée. Pendant des siècles, les mathématiciens ont cherché à démontrer cet axiome à l'aide des autres axiomes de la géométrie classique. Riemann, au XIXe siècle, tenta de le démontrer par l'absurde en vérifiant ce qui se passait si aucune droite parallèle à la première n'existait. Cela fonctionne sur une sphère lorsque ce point donné est un des pôles de la sphère et que la droite en question est l'Equateur. Au lieu de tomber sur une incohérence comme il s'y attendait, il obtint une nouvelle géométrie cohérente. Celle-ci est nommée la géométrie non euclidienne, car elle n'utilise pas l'axiome d'Euclide.

À l'inverse de Riemann, le Russe Lobatchevski, lui, décide de faire passer une infinité de droite parallèles à une autre et passant par le point A. Il obtint la géométrie en selle de cheval, elle aussi non-euclidienne.

Les axiomes servent ainsi à définir un système mathématique et la notion de vérité. Par exemple, mathématiquement, l'affirmation « par un point donné passe une unique parallèle à une droite donnée » est vraie en géométrie euclidienne mais fausse en géométrie non-euclidienne.

L’axiome et la définition[modifier | modifier le code]

La frontière entre axiomatique et définition est floue : une axiomatique des ensembles est une « définition des ensembles » ; une axiomatique de la géométrie est une « définition de la droite ». Inversement les définitions des voisinages pourrait être l' « axiomatique de la topologie ».

Il y a cependant deux critères qui permettent de faire le distinguo entre axiomatique et définition :

  1. Une définition ne définit qu'un unique objet mathématique ; l'axiomatique peut en revanche définir conjointement plusieurs notions qui ne peuvent être définies isolément (par exemple la droite et le plan en géométrie) ;
  2. Une axiomatique suppose une axiomatique alternative alors qu'une définition n'a au plus que des définitions équivalentes (et non concurrentes).

On trouve des axiomes plutôt que des définitions dans les branches les plus fondamentales (et les plus conflictuelles) des mathématiques : la théorie des ensembles, la géométrie, l'arithmétique, etc.

On notera cependant que dans un système aussi rigoureux qu'un assistant de preuve comme Coq, ces concepts doivent être rendus très précis et que donc ils sont très différents. Un axiome est équivalent à une hypothèse (et donc aussi à une variable ou un paramètre) tandis qu'une définition est un objet qui s'apparente à une proposition (ou à un théorème) et est associé à un terme de preuve[1]. Une différence assez subtile et technique dite « transparence » sépare néanmoins les théorèmes des définitions.

Note et référence[modifier | modifier le code]

  1. Yves Bertot et Pierre Casteran Interactive Theorem Proving and Program Development, chapitre 3, Springer Verlag, Berlin, 2004.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Axiome