Autocovariance

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La fonction d' autocovariance d'un processus stochastique X=\{X_t, t \in \mathbb{N}\} permet de caractériser les dépendances linéaires existant au sein de ce processus[1].

Définition — Si le processus X est à valeurs dans \mathbb{R} et admet une variance \operatorname{V}(X_t) pour n'importe quel t \in \mathbb{N}, on définit la fonction d'autocovariance de X par la fonction notée R qui à tout couple d'entiers naturels (t,s) associe le nombre noté R(t,s) et défini par R(t,s)\equiv\operatorname{Cov}(X_t,X_s) = \operatorname{E}\left[(X_{t}-\mu_t)(X_s - \mu_s)\right], où \mu_t=\operatorname{E}(X_t)

Si X est un processus stationnaire au sens faible alors \mu_t=\mu_s et \operatorname{Cov}(X_t,X_s) = \operatorname{Cov}(X_{t+k},X_{s+k}) pour n'importe quels entiers naturels t,s, k. Dans ce cas R(t,s)=R(|t-s|,0) et il suffit alors de définir les autocovariances par la fonction qui à tout k \in \mathbb{Z} associe \gamma(k)\equiv R(k,0)=\operatorname{Cov}(X_k,X_0). La fonction d'autocovariance apparaît alors comme la covariance de ce processus avec une version décalée de lui-même. On appelle \gamma(k) l'autocovariance d'ordre k[2].

Propriété — Si X est stationnaire au sens faible, \gamma(-k)=\gamma(k)

Cette propriété résulte directement du fait que \gamma(k)=R(|k|,0)=R(|-k|,0)=\gamma(-k). Voir pour cette propriété Hamilton (1994, p. 46).

Notes[modifier | modifier le code]

  1. On utilise aussi pour cela la fonction d'Autocorrélation
  2. Voir par exemple Hamilton (1994) et Maddala et Kim (1998)

Références[modifier | modifier le code]

(en) William H. Greene, Econométrie, Paris, Pearson Education,‎ , 5e éd. (ISBN 978-2-7440-7097-6), p. 2

(en) James Douglas Hamilton, Time Series Analysis, Princeton N.J, Princeton University Press,‎ (ISBN 978-0-691-04289-3, LCCN 93004958), p. 799

(en) Gangadharrao Soundaryarao Maddala, Unit Roots, Cointegration and Structural Change, Cambridge, Cambridge University Press,‎ , 5e éd., relié (ISBN 978-0-521-58257-5, LCCN 98017325), p. 505

Voir aussi[modifier | modifier le code]