Arg max

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En mathématiques, l'argument du maximum, noté arg max ou argmax, est l'ensemble des points en lesquels une expression atteint sa valeur maximale.

Définition

Pour une fonction , avec un ensemble totalement ordonné, l'arg max de est défini par :

c'est-à-dire que est l'ensemble des valeurs pour lesquelles atteint son maximum en . De manière équivalente, est l'ensemble de niveau du maximum de  :

On peut aussi trouver la notation .

Si est une partie de alors l'arg max de la restriction de à , , peut être noté

Sa valeur est

Par exemple, si est , alors elle atteint sa valeur maximum pour seulement et son arg max est .

Nous avons aussi

car le maximum de est , et cette valeur est atteinte sur l'intervalle quand , ou .

Si le maximum est atteint en un seul point, alors par souci de simplification, on peut aussi désigner ce point comme l'arg max et on pourra utiliser le point ou le singleton selon le contexte. Par exemple, le seul maximum de est , atteint uniquement pour , d'où

dans un contexte de nombres

et

dans un contexte d'ensembles.

Arg min

arg min (ou argmin) est défini de manière analogue (en remplaçant «max» par «min» et par ): pour une fonction , avec un ensemble totalement ordonné, l'arg min est défini par

Voir aussi

Crédit d'auteurs

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