Arc (géométrie)

Un arc est, en géométrie, une portion d'une courbe délimitée par deux points de cette courbe. Par exemple, un arc de cercle est une partie de la circonférence du cercle.

La corde est le segment de droite joignant les extrémités de l'arc.

Arc de cercle

Sur la figure, la longueur de l'arc de cercle est L.

• La longueur d'un arc de cercle de rayon $r$ et sous-tendant un angle $\theta \,\!$ (mesuré en radians), avec le centre du cercle — c'est-à-dire l'angle au centre — est égale à $\theta r\,\!$. En effet :

${\frac {\mathrm {L} }{\mathrm {circonference} }}={\frac {\theta }{2\pi }}{\text{ ;}}$

en substituant la circonférence :

${\frac {\mathrm {L} }{2\pi r}}={\frac {\theta }{2\pi }}{\text{ ;}}$

et en isolant L :

$\mathrm {L} =\theta r{\text{.}}$

Un angle de $\alpha \,\!$ degrés a une taille en radians donnée par la relation :

$\theta ={\frac {\alpha }{180}}\pi {\text{ ;}}$

et donc la longueur de l'arc vaut également (quand l'angle est en degrés) :

$\mathrm {L} ={\frac {\alpha \pi r}{180}}{\text{.}}$

• Les longueurs c et f de la corde et la flèche valent :

$c=2r\sin(\theta /2),\quad f=r\left(1-\cos(\theta /2)\right)$

donc

$\theta =2\arcsin \left({\frac {c}{2r}}\right)=2\arccos \left(1-{\frac {f}{r}}\right).$

Inversement, connaissant c et f, on peut déterminer le rayon (par exemple à l'aide de la dernière égalité et de l'identité cos² + sin² = 1, ou en exprimant de deux façons la puissance du point d'intersection de la corde et la flèche : –f(2r – f) = –(c/2)²) :

$r={\frac {f}{2}}+{\frac {c^{2}}{8f}}.$

Les formules précédentes permettent ensuite d'exprimer, également en fonction de c et f, l'angle au centre et la longueur de l'arc.