Approximation de Korovkin

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Le théorème d'approximation de Korovkin est un résultat d'analyse fonctionnelle découvert par Pavel Korovkin (en) dans les années 1950[1],[2]. Il permet de se contenter, pour démontrer que certains processus d'approximation convergent pour toutes les fonctions considérées, de le vérifier pour un ensemble fini d'entre elles. Il unifie ainsi divers procédés comme celui de Bernstein[3], qui fournit l'une des preuves du théorème de Weierstrass. Élémentaire mais fructueux, il est à l'origine d'une branche active de la théorie constructive de l'approximation[4],[5].

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soient C([a, b]) l'espace des fonctions réelles continues sur un segment réel [a, b], et (Pn) une suite d'opérateurs linéaires positifs (en) de C([a, b]) dans C([a, b])[6]. Si Pn(f) converge uniformément sur [a, b] vers f pour les trois fonctions monomiales f0(x) = 1, f1(x) = x et f2(x) = x2, alors il en est de même pour toute fonction f de C([a, b])[7],[8].

Démonstration[modifier | modifier le code]

Soit f une fonction continue sur [a, b]. Montrons[7],[9] que la suite des fonctions Pn(f) converge uniformément vers f sur [a, b]. Fixons un réel ε > 0.

L'application f, continue sur le compact [a, b], est :

Soit x ∈ [a, b]. Pour tout y ∈ [a, b], on a :

  • si |y – x| < η alors |f(y) – f(x)| < ε ;
  • si |y – x| ≥ η alors |f(y) – f(x)| ≤ 2M ≤ 2M(y – x)22.

La valeur f(y) est donc toujours comprise entre Par positivité des opérateurs Pn, on en déduit que Or gx et dx sont des polynômes du second degré — c'est-à-dire des combinaisons linéaires de f2, f1 et f0 — donc (par hypothèse sur les Pn) uniformément sur [a, b]. De plus, puisque les coefficients de ces deux combinaisons linéaires sont des fonctions bornées de x ∈ [a, b], la convergence est également uniforme par rapport à x. Il existe donc N tel que pour tout nN et tous x, y ∈ [a, b] : en particulier : d'où finalement : On a donc bien :

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en + ru) P. P. Korovkin, « On convergence of linear positive operators in the space of continuous functions », Dokl. Akad. Nauk SSSR (N.S.), vol. 90,‎ , p. 961-964.
  2. (en) Pavel Petrović Korovkin, Linear Operators and Approximation Theory, Hindustan Pub. Corp., .
  3. (en) Francesco Altomare, « Korovkin-type Theorems and Approximation by Positive Linear Operators », Surveys in Approximation Theory, vol. 5,‎ , p. 92-164 (arXiv 1009.2601), Theorem 3.6.
  4. Altomare 2010.
  5. (en) Francesco Altomare et Michele Campiti, Korovkin-type Approximation Theory and Its Applications, Walter de Gruyter, , 627 p. (ISBN 978-3-11-014178-8, présentation en ligne).
  6. Ou même dans [a, b] : Altomare 2010, Theorem 3.1.
  7. a et b (en) Allan Pinkus, « Weierstrass and approximation theory », J. Approx. Theory, vol. 107, no 1,‎ , p. 1-66 (DOI 10.1006/jath.2000.3508), p. 58.
  8. (en) Neal Lamar Carothers, Real analysis, CUP, , 401 p. (ISBN 978-0-521-49756-5, présentation en ligne), p. 186.
  9. Altomare 2010, Theorem 3.2, sous une forme plus générale à peu de frais.