Angle d'or

Le terme d'angle d’or désigne un angle lié au nombre d’or.

Définitions

En géométrie

L'angle d'or est sous-tendu par l'arc b quand ${\frac {a}{b}}=\varphi$
($\varphi$ étant le nombre d'or). .

En géométrie, l'angle d'or est l'angle sous-tendu par le plus petit des deux arcs créés en divisant la circonférence c d'un cercle en deux sections dont les longueurs a et b sont dans un rapport égal au nombre d'or $\varphi$, de telle manière que :

$c=a+b\,$

et

${\frac {a}{b}}={\frac {c}{a}}=\varphi$

L'angle d'or est l'angle saillant sous-tendu par l'arc de cercle b. Il mesure en radians:

• ${\frac {2\pi }{\varphi ^{2}}}=\pi (3-{\sqrt {5}})=2,39996323...$

Sa mesure en degrés est:

• ${\frac {360}{\varphi ^{2}}}=180(3-{\sqrt {5}})=137.5077641...$ soit 137° 30′ 27.9505″

L'angle rentrant, sous-tendu par l'arc de cercle a, mesure en radians:

• ${\frac {2\pi }{\varphi }}=\pi ({\sqrt {5}}-1)=3.88322207...$

Sa mesure en degrés est:

• ${\frac {360}{\varphi }}=180({\sqrt {5}}-1)=222.492236...$ soit 222° 29′ 32.0494″

Dans la nature

On retrouve cet angle à plusieurs reprises dans la nature. Par exemple, la pomme de pin dispose de spirales logarithmiques dont les points de croisement sont disposés suivant l'angle d'or. Il en est de même des fleurons du tournesol. Stéphane Durand explique que la disposition des graines dans les fleurs de tournesol selon des spirales réglées par l'angle d'or et la suite de Fibonacci correspond à l'optimisation de l'occupation de l'espace dans le plan. On trouvera un exposé détaillé de ce phénomène.

En imagerie médicale

L’imagerie à résonance magnétique (IRM) utilise plusieurs méthodes d'échantillonnage. L'une d'elle, radiale avec incrémentation d'une valeur nommée « angle d'or », utilise la valeur 111,25°