Algèbre de mélange

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En mathématiques, et notamment en combinatoire algébrique, une algèbre de mélange est une algèbre de Hopf dont la base est formée de mots sur un certain alphabet avec, comme produit, le produit de mélange ш de deux mots et  : ce produit consiste en l'entrelacement, de toutes les manières possibles, les séquences de lettres composant les mots[1],[2].

L'algèbre de mélange sur un ensemble fini est l'algèbre graduée duale de l'algèbre enveloppante universelle de l'algèbre de Lie libre sur cet ensemble.

L'algèbre de mélange sur les nombres rationnels est isomorphe à l'algèbre polynomiale des mots de Lyndon.

Produit de mélange[modifier | modifier le code]

Article détaillé : mot (mathématiques).

Le produit de mélange ш de deux mots de longueur N et de longueur M est la somme des mots , où les et les sont des mots, tels que et . Par exemple,

ш .

On peut aussi le définir par récurrence[3] par :

ш = ш ш .

Le produit de mélange est associatif et commutatif[4].

Produit d'infiltration[modifier | modifier le code]

Le produit d'infiltration est une opération semblable, introduite par Chen, Fox et Lyndon 1958. Il est défini par récurrence sur la longueur des mots, pour deux mots et et deux lettres (le mot vide est noté ) comme suit :

 ;
 ;
.

Par exemple,

.
.

De même,

 ;
.

Le produit d'infiltration est également associatif et commutatif[5].

Notes et références[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Le terme shuffle product qui est la traduction anglaise de produit de mélange, a été introduit par Eilenberg et Mac Lane (1953). Il doit rappeler le mélange de paquets de cartes.
  2. Le symbole « ш » est la lettre sha de l'alphabet cyrillique, On utilise aussi le caractère unicode U+29E2 (SHUFFLE PRODUCT)).
  3. Lothaire 1997, p. 101, 128.
  4. Lothaire 1997, p. 126.
  5. Lothaire 1997, p. 128.

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Shuffle algebra » (voir la liste des auteurs).

Liens externes[modifier | modifier le code]