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Espace pseudo-métrique

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En mathématiques, un espace pseudométrique est un ensemble muni d'une pseudométrique. C'est une généralisation de la notion d'espace métrique.

Sur un espace vectoriel, tout comme une norme induit une distance, une semi-norme induit une pseudométrique. Pour cette raison, en analyse fonctionnelle et dans les disciplines mathématiques apparentées, l'expression espace semimétrique est utilisée comme synonyme d'espace pseudométrique (alors qu'« espace semimétrique » a un autre sens en topologie).

Définition

Une pseudométrique sur un ensemble est une application

telle que pour tout ,

  1.  ;
  2. (symétrie) ;
  3. (inégalité triangulaire).

Autrement dit, une pseudométrique est un écart à valeurs finies.

Un espace pseudométrique est un ensemble muni d'une pseudométrique.

À la différence de ceux d'un espace métrique, les points d'un espace pseudométrique ne sont pas nécessairement discernables — c'est-à-dire que l'on peut avoir pour des points distincts .

Exemples

  • Si est un écart sur un ensemble , alors est une pseudométrique sur  ;
  • Si est une semi-norme sur un espace vectoriel , alors est une pseudométrique sur . Réciproquement, toute pseudométrique invariante par translation et homogène provient d'une semi-norme. Un exemple concret d'une telle situation est sur l'espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles  : en choisissant un point , on peut définir une pseudométrique par .

Propriétés topologiques

La topologie pseudométrique[1] associée à une pseudométrique est celle induite par l'ensemble des boules ouvertes :

.

Un espace topologique est dit « pseudométrisable » s'il existe une pseudométrique dont la topologie associée coïncide avec celle de l'espace.

Remarque : Un espace est métrisable si (et seulement si) il est pseudométrisable et T0.

Identification métrique

En quotientant un espace pseudométrique par la relation d'équivalence d'annulation de la pseudométrique, on obtient un espace métrique. Plus explicitement, on définit

,

et l'on obtient une distance sur en posant :

.

La topologie de l'espace métrique est la topologie quotient de celle de .

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Pseudometric space » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie