22 / 7 dépasse π

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Les démonstrations du célèbre résultat mathématique selon lequel le nombre rationnel 22/7 est supérieur à π remontent à l'Antiquité. Stephen Lucas qualifie cette proposition de « l'un des plus beaux résultats liés à l'approximation de π[1] ». Julian Havil (de) met fin à une discussion sur les fractions approchant π avec ce résultat, le décrivant comme « impossible de ne pas être mentionné » dans ce contexte[2].

Le but n'est pas d'abord de convaincre le lecteur que 22 / 7 est en effet plus grand que π ; des méthodes de calcul systématiques de la valeur de π existent. Ce qui suit est une démonstration mathématique moderne que 22 / 7 > π, nécessitant uniquement des techniques élémentaires de calcul. Sa simplicité et son élégance résultent de ses liens avec la théorie des approximations diophantiennes.

Démonstration[modifier | modifier le code]

On peut montrer cette inégalité par le calcul de l'intégrale

Le nombre est strictement positif car la fonction est continue et strictement positive sur l'intervalle ]0, 1[.

Il reste à démontrer que l'intégrale a effectivement pour valeur la quantité désirée :

(développement du numérateur)
(par décomposition en éléments simples de l'intégrande)
(intégration définie)
(addition)

Dalzell[3] donne un résultat plus fin en bornant la différence avec l'étude du dénominateur. On a ainsi

Ce qui donne après calcul :

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Proof that 22/7 exceeds π » (voir la liste des auteurs).

  1. (en) Stephen K. Lucas, « Integral proofs that 355/113 > π », Australian Mathematical Society Gazette, vol. 32, no 4,‎ , p. 263-266 (lire en ligne)
  2. (en) Julian Havil, Gamma: Exploring Euler's Constant, Princeton, Princeton University Press, (ISBN 978-0-691-09983-5, LCCN 2002192453), p. 96
  3. (en) D. P. Dalzell, « On 22/7 », J. London Math. Soc., vol. 19,‎ , p. 133-134 (DOI 10.1112/jlms/19.75_Part_3.133)