1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯

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Les six premiers sommets dessinés en portions d'un carré.
La série géométrique sur la ligne réelle.

En mathématiques, la série infinie 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ est un exemple élémentaire d'une série géométrique qui converge absolument.

Sa somme est

Preuve directe[modifier | modifier le code]

Comme pour toute série infinie, la somme infinie

est définie comme signifiant la limite de la somme des n termes

Multiplier sn par 2 révèle une relation utile :

En soustrayant sn des deux côtés, on a

Lorsque n tend vers l'infini, sn tend vers 1.

Histoire[modifier | modifier le code]

Cette série a été utilisée comme une représentation d'un des paradoxes de Zénon[1]. Les parties de l'œil Oudjat ont été pensées autrefois pour représenter les six premiers termes de la série[2].

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Bet G. Wachsmuth, « Description of Zeno's paradoxes » [archive du ] (consulté le 29 décembre 2014)
  2. (en) Ian Stewart, Professor Stewart's Hoard of Mathematical Treasures, Profile Books, , 76–80 p. (ISBN 978-1-84668-292-6).