Étendue de faisceau

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Étendue de faisceau
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Le transfert global d'énergie entre flamme et main est d'autant plus important que le « diamètre du canal » entre ces deux surfaces est grande. C'est ce que mesure l'étendue de faisceau.

Unités SI mètre carré.stéradian
Base SI srm2
Nature Grandeur scalaire extensive
Symbole usuel G
Expressions = .

L'étendue de faisceau ou étendue géométrique (dans le contexte de l'optique) est une grandeur utilisée en photométrie, qui caractérise la dispersion d'un faisceau lumineux émis par l'ensemble d'une source, pour la partie qui atteint un dispositif récepteur. Le « faisceau » de droites dont il est question dans cette grandeur physique est l'ensemble des rayons reliant l'un quelconque des point de la surface émettrice à l'un quelconque des points de la surface réceptrice (étant entendu que ce faisceau peut être vide quand les surfaces en questions ne sont pas visibles l'une par l'autre). C'est une grandeur additive, dans le sens où le faisceau associé à une réunion de surfaces est la réunion des faisceaux associés aux composants[1].

Dans le cas d'une source lumineuse orthotrope, c'est à dire de luminance constante en tout point de la surface, l'étendue de faisceau est proportionnelle à la puissance lumineuse que la surface source émet vers une surface cible donnée. De ce point de vue, l'étendue de faisceau peut être vue comme la grandeur géométrique caractérisant la « taille » de ce canal de transfert, abstraction faite des particularités du flux. De son côté, la luminance est la dérivée du flux énergétique par rapport à l'étendue, et traduit les hétérogénéités éventuelles du flux lumineux concret utilisant ce faisceau, que ce soit en surface ou en direction.

L'étendue peut être définie de plusieurs façons. Vue de la source, c'est le produit entre la surface de la source et l'angle solide sous-tendu par la pupille d'entrée du dispositif récepteur (vu depuis la source). Vue du récepteur, c'est le produit de l'aire de la pupille d'entrée par l'angle solide sous-tendu par la source (vue depuis le récepteur). Ces définitions supposent que l'angle solide en question puisse être considéré comme constant sur tous les points de la surface, ce qui n'est cependant pas le cas général. De fait, dans la plupart des applications, les calculs se font sur un faisceau élémentaire, défini par un élément de surface et un élément d'angle solide, et suivant lequel le flux peut être considéré comme sensiblement constant.

De manière générale, la notion d'étendue géométrique est extrêmement féconde dans l'étude de nombreux systèmes optiques. La notion est reliée à celle d'invariant de Lagrange-Helmholtz, également constant dans un système optique parfait. La conservation de l'étendue d'un faisceau au travers d'un système optique exprime la conservation de la puissance lumineuse de ce faisceau, et donc l'absence de perte dans le système. C'est également un concept fondamental en optique non imageante.

Définition[modifier | modifier le code]

Schéma représentant les paramètres de la définition de l'étendue de faisceau entre Σ et S

Étendue d'un faisceau élémentaire[modifier | modifier le code]

Considérons une source lumineuse Σ et un récepteur S, tous deux étendus et non ponctuels, séparés par un milieu parfaitement transparent. Pour étudier la transmission de la lumière entre ces deux surfaces il faut étudier la contribution de chaque point de Σ à l'éclairement de chaque point de S.

Nous appellerons :

  • dΣ et dS deux éléments de surface infiniment petits appartenant respectivement à Σ et S et reliés par un faisceau lumineux élémentaire. Ces éléments sont localement assimilés à des portions de plan.
  • θΣ et θS les angles de la direction de propagation nΣ et nS ; nΣ et nS étant respectivement les normales à dΣ et dS.
  • Σ et dΩS les angles solides sous lesquels chaque élément de surface est vu depuis le centre de l'autre. Par définition de l'angle solide : et .
  • d la distance des deux surfaces élémentaires dΣ et dS.
  • n l'indice de réfraction du milieu considéré.

Un point important à comprendre est que la figure illustrant ces définitions est évidemment fausse, les surfaces dΣ et dS n'étant pas dessinées infinitésimales. Pour des surfaces infiniment petites, tous les points de dΣ voient tous les points de dS sous le même angle θΣ, et voient la surface dS sous le même angle solide dΩΣ, et réciproquement. Bien que le faisceau élémentaire soit représenté par un cône dans la figure, il forme en réalité un faisceau reliant chaque point de dΣ à chaque point de dS, dont la frontière est une surface développable passant par les deux frontières de dΣ et dS : le faisceau élémentaire ressemble plus à un cylindre qu'à un cône, c'est en quelque sorte un vecteur épais.

Par définition, l'étendue géométrique du faisceau lumineux élémentaire qui relie dΣ à dS, qui traverse la surface dΣ sous un angle dΩΣ, est la quantité :

Dimension[modifier | modifier le code]

La distribution du faisceau géométrique élémentaire n'a pas de nom ni de dimension propre, son seul facteur propre étant un sans dimension ; et le faisceau géométrique proprement dit, qui en est l'intégrale, est une intégrale d'une dimension élémentaire de surface, multipliée par une dimension élémentaire d'angle solide.

Sa dimension est donc celle d'une surface multipliée par un angle solide ; en unités du système international elle s'exprime en stéradian-mètre carré.

Conservation[modifier | modifier le code]

L'étendue géométrique du faisceau lumineux élémentaire, qui « relie » les deux surfaces élémentaires, peut se réécrire sous la forme suivante :

L'étendue géométrique du faisceau qui relie dΣ à dS est donc la même suivant que l'on considère le faisceau élémentaire au départ ou à l'arrivée. De ce fait, l'étendue géométrique du faisceau a été conservée lors du passage dans l'espace de l'onde électromagnétique de dΣ à dS.

L'étendue géométrique qui relie les surfaces Σ et S est l'intégrale double sur dΣ et dS de cette étendue élémentaire, sur les parties des deux surfaces S et Σ qui sont visibles de l'une à l'autre. L'étendue du système dans son ensemble est donc :

Facteur de forme[modifier | modifier le code]

Dans le cas usuel d'un rayonnement dans l'air, où n=1, l'étendue géométrique du faisceau lumineux élémentaire peut se mettre sous la forme :

Le terme mis entre parenthèse est le facteur de forme élémentaire du transfert de dΣ vers dS.

Dérivée partielle par rapport à l'étendue de faisceau[modifier | modifier le code]

On peut montrer par exemple que la luminance du faisceau lumineux qui va de dΣ à dS s'écrit, en fonction du flux lumineux (ce résultat étant le même pour tous les transferts électromagnétiques) :

Cette dérivée prend la forme d'une dérivée seconde dans la mesure où l'on peut considérer qu'elle correspond à une dérivée partielle à la fois par rapport à la surface d'émission, et par rapport à l'angle solide d'émission. Si l'on décompose ces deux opérations, on trouve comme grandeur physique intermédiaire que :

Cependant, du coup, la dérivée seconde par rapport à l'autre variable ne se comporte pas simplement par rapport à ces dérivées premières, ce qui se traduit en pratique par l'apparition d'un facteur en dans ces formules.

Le point à retenir est que la grandeur physique pertinente étant l'étendue géométrique, une dérivée partielle par rapport aux deux composantes de cette étendue géométrique ne se traduit pas « simplement » par une dérivée partielle par rapport à l'angle solide « croix » une dérivée partielle par rapport à l'élément de surface : il y a aussi un facteur en à prendre en compte, qui ressurgit dans l'expression des dérivées secondes.

Article détaillé : distribution hémisphérique.

Cohérence d'un faisceau lumineux[modifier | modifier le code]

On prouve également qu'un faisceau monochromatique est cohérent sur une étendue égale à λ²[2] (longueur d'onde du faisceau).

Conservation de l'étendue[modifier | modifier le code]

On peut montrer que l'étendue se conserve lorsque un rayon lumineux traverse l'espace, ainsi qu'aux réfractions et réflexions. Elle est donc également conservée lorsque les rayons traversent un système optique parfait. Cette conservation peut se démontrer de différentes manières, à partir de l'optique hamiltonienne ou via la seconde loi de la thermodynamique[3].

En revanche, l'étendue n'est pas conservée lorsque les rayons sont diffusés, par de la poussière ou par un diffuseur optique, qui conduisent à augmenter l'angle solide du faisceau lumineux. Dans un système réel, l'étendue peut donc rester constante ou augmenter, mais ne peut pas diminuer. C'est une conséquence directe de l'augmentation de l'entropie du système, qui ne peut être compensée qu'en disposant d'une information a priori permettant de reconstituer un front d'onde cohérent, par conjugaison de phase.

Milieu d'indice de réfraction variable[modifier | modifier le code]

Ce qui précède est valable dans le cas d'un faisceau traversant un milieu d'indice de réfraction constant. Dans un milieu ou un système présentant une symétrie rotationnelle et dont l'indice de réfraction varie (ou si le faisceau traverse des milieux différents), la dispersion angulaire du faisceau peut être réduite par un facteur égal au carré de l'indice relatif de réfraction.

Par exemple, en regardant la surface depuis le fond d'une piscine (pour laquelle l'indice relatif de réfraction eau/air est de 1,33 environ), on verra l'hémisphère de la surface, soit un angle solide de 2π, "comprimé" dans un angle solide de 1,1π.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. Pour visualiser une telle union, il faut oublier l'idée que « croiser les faisceaux c'est mal », ce qui est une contrevérité scientifique : les faisceaux peuvent se croiser sans interférer aucunement, y compris quand ils sont le support d'un flux énergétique.
  2. Cours en ligne de l'Observatoire de Paris, Mai 2010
  3. (en) Julio Chaves, Introduction to Nonimaging Optics, Second Edition, CRC Press, (ISBN 978-1482206739, lire en ligne)

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]