Équation hypsométrique

L’équation hypsométrique est une équation en météorologie et océanographie qui repose sur l'équation hydrostatique pour : déterminer la différence de géopotentiel entre deux niveaux de pression $p_{1}$ et $p_{2}$, réduire la pression observée à celle d'une autre altitude et étalonner un baromètre anéroïde.

Équation

L'équation hypsométrique est définie comme:

$h=z_{2}-z_{1}={\frac {R\cdot {\bar {T}}}{g}}\cdot \ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right)$

où :

$h$ = épaisseur de la couche (m) ;

$z$ = hauteurs des pressions p₁ et p₂ (m) ;

$R$ = constante universelle des gaz parfaits pour l'air sec ;

${\bar {T}}$ = température moyenne de la couche (K) ;

$g$ = accélération normale de la pesanteur terrestre (m/s²) ;

$p$ = pression atmosphérique (Pa).

Dérivation de l'équation

L'équation hydrostatique relie la variation de pression atmosphérique ou hydrologique avec celle de la hauteur. La dérivée de p versus z est :

$\mathrm {d} p=-\rho \cdot g\cdot \delta z$

où $\ \rho$ est la masse volumique (kg/m³) du fluide pour obtenir l'équilibre hydrostatique.

En utilisant l'équation des gaz parfaits :

$p=\rho \cdot R\cdot T$.

Il est possible d'éliminer $\rho$ :

${\frac {\mathrm {d} p}{p}}={\frac {-g}{R\cdot T}}\,\mathrm {d} z$.

Ensuite en intégrant de $\ z_{1}$ à $\ z_{2}$ :

$\int _{p(z_{1})}^{p(z_{2})}{\frac {\mathrm {d} p}{p}}=\int _{z_{1}}^{z_{2}}{\frac {-g}{R\cdot T}}\,\mathrm {d} z$.

R et g sont considérés comme presque constants avec z dans la faible couche atmosphérique, il est donc possible de les mettre sous l'intégrale. Si la température varie de façon linéaire avec z (comme dans l'atmosphère standard internationale), elle peut être sortie de l'intégrale et remplacée par ${\bar {T}}$, une température moyenne de la couche de $z_{1}$ à $z_{2}$.

$\int _{p(z_{1})}^{p(z_{2})}{\frac {\mathrm {d} p}{p}}={\frac {-g}{R\cdot {\bar {T}}}}\int _{z_{1}}^{z_{2}}\,\mathrm {d} z$

L'intégrale donne donc :

$\ln \left({\frac {p(z_{2})}{p(z_{1})}}\right)={\frac {-g}{R\cdot {\bar {T}}}}(z_{2}-z_{1})$.

Après simplification :

$\ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right)={\frac {g}{R\cdot {\bar {T}}}}(z_{2}-z_{1})$.

Et réarrangement des termes :

$(z_{2}-z_{1})={\frac {R\cdot {\bar {T}}}{g}}\ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right)$

ou en éliminant le logarithme naturel (ln) :

${\frac {p_{1}}{p_{2}}}=e^{{g \over R\cdot {\bar {T}}}\cdot (z_{2}-z_{1})}$.

 

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hypsometric equation » (voir la liste des auteurs).