Équation différentielle linéaire d'ordre un

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Les équations différentielles linéaires d'ordre 1 sont des équations différentielles de la forme

a, b et c sont des fonctions que l'on supposera continues.

Ces équations peuvent être résolues par des procédés systématiques, faisant appel au calcul de primitives. Dans certains cas particuliers, par exemple lorsque c est nulle (on parle alors d'équations différentielles linéaires homogènes), on peut espérer obtenir des expressions explicites des solutions à l'aide des fonctions usuelles.

En toute rigueur, il faut utiliser la dénomination équations différentielles linéaires scalaires d'ordre 1, pour signifier que la fonction inconnue y est à valeurs réelles ou complexes. L'équation différentielle matricielle , avec Y et C vecteurs colonnes et A et B matrices carrées, est en effet elle aussi une équation différentielle linéaire d'ordre 1. Cette acception plus générale est étudiée dans l'article « Équation différentielle linéaire ».

Équation différentielle linéaire homogène[modifier | modifier le code]

À coefficients constants[modifier | modifier le code]

Ce sont les équations qui se ramènent à k est un réel. On rencontre ce type d'équations :

Les solutions d'une telle équation sont les fonctions définies sur ℝ par

C est un réel dont la valeur se détermine dès que sont connues les conditions initiales : si pour on a alors .

On peut voir ce résultat comme un cas particulier du § ci-dessous, ou le démontrer directement.

Cas général[modifier | modifier le code]

Dans le cas général, l'équation différentielle linéaire homogène s'écrit

ou en abrégé :

.

En travaillant sur un intervalle I où la fonction a ne s'annule pas, et en notant

une primitive de la fonction ,

les solutions sur I sont les fonctions de la forme

K est une constante dont la valeur se détermine par la donnée des conditions initiales.

Le calcul de primitive A n'est pas toujours réalisable à l'aide des fonctions usuelles ; la solution peut donc n'avoir qu'une expression sous forme d'intégrale.

Cette résolution de l'équation homogène à coefficients non constants est, à son tour, un cas particulier du § « Cas général » ci-dessous.

Équation différentielle linéaire avec second membre[modifier | modifier le code]

Si l'équation différentielle possède un second membre (si c est une fonction non nulle), il suffit de trouver une solution particulière de l'équation pour les connaître toutes. En effet, les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions g est une solution générale de l'équation homogène.

Le problème est souvent de déterminer cette solution particulière.

Si c est la somme de deux fonctions c1 et c2, on peut chercher une solution particulière de l'équation différentielle de second membre c1, puis une solution particulière de l'équation différentielle de second membre c2, puis faire la somme de ces deux solutions particulières. On obtient alors une solution particulière de l'équation de départ.

Cas où a, b et c sont des constantes non nulles[modifier | modifier le code]

Nous obtenons des équations du type . Ces équations servent à modéliser, par exemple, la charge ou la décharge d'un condensateur dans un circuit RC.

L'ensemble des solutions sont les fonctions f définies sur ℝ par

C est un réel se déterminant par la donnée des conditions initiales, par exemple, , ce qui donne alors :

Cas où a et b sont des constantes non nulles et c une fonction polynôme ou trigonométrique[modifier | modifier le code]

On cherchera alors une solution particulière de la forme

  • d'un polynôme de degré n si c est un polynôme de degré n ;
  • d'une combinaison linéaire de et si

Cas général[modifier | modifier le code]

Une méthode de résolution d'une équation avec second membre

est la méthode de variation des constantes. Celle-ci consiste à se ramener, par un changement de fonction variable, à un problème de calcul de primitive.

On trouve ainsi[1], en supposant à nouveau que la fonction a ne s'annule pas sur l'intervalle I et que

est une primitive sur I de la fonction ,

que les fonctions solutions sur I de sont les fonctions de la forme

,

est une primitive quelconque de la fonction .

Soit finalement, en fixant un point  :

,

K est, à nouveau, une constante déterminée par les conditions initiales.

Il faut donc réaliser un second calcul de primitive, ce qui peut empêcher de donner l'expression de la solution à l'aide des fonctions usuelles.

Note[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Équation différentielle linéaire d'ordre 2