Équation de droite

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En géométrie affine, une équation de droite, au sens large, permet de décrire l'ensemble des points appartenant à cette droite.

Une droite dans un plan affine de dimension 2 est déterminée par une équation cartésienne ; une droite dans un espace affine de dimension 3, est déterminée par un système de deux équations cartésiennes définissant deux plans sécants dont la droite est l'intersection ; etc.

Définition[modifier | modifier le code]

L'équation d'une droite D est une (ou plusieurs) équation(s) du premier degré à plusieurs inconnues (des coordonnées), et dont l'ensemble des solutions forme la droite D.

Dans le plan[modifier | modifier le code]

Dans le plan, l'ensemble des points M\left(x,y\right) formant D peut se représenter par une équation de la forme :  ax + b y + c = 0 a, b et c sont des constantes telles que (a, b) ≠ (0, 0). Dans ce cas,  D = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ ax + by + c = 0 \}.

Dans l'espace[modifier | modifier le code]

Dans un espace à trois dimensions en coordonnées cartésiennes, on peut décrire l'ensemble des points M\left(x,y,z\right) formant la droite D par :

  • une équation paramétrique ;
  • un système de deux équations de plans non parallèles ;
  • un système redondant de trois équations, équivalent à deux d'entre elles.

Un système paramétrique[modifier | modifier le code]

Si A\left(x_A,y_A,z_A\right) est un point de la droite D et \vec{u}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} un vecteur directeur de D, cette droite peut être décrite à l'aide de l'équation paramétrique suivante : \left\{\begin{matrix}
x = at + x_A\\
y = bt + y_A\\
z = ct + z_A
\end{matrix}\right.\quad t \in \R

Un système de deux équations[modifier | modifier le code]

La droite D peut aussi être décrite par un système de deux équations de la forme : \begin{cases}ax+by+cz+d=0\\a'x+b'y+c'z+d'=0\end{cases}

a,b,c,d,a',b',c',d' sont des constantes telles que les triplets (a,b,c) et (a',b',c') soient non colinéaires, autrement dit non proportionnels (en particulier, aucun des deux triplets ne doit être nul).

ax+by+cz+d=0 et a'x+b'y+c'z+d'=0 sont les équations de deux plans non parallèles.

Un système redondant de trois équations[modifier | modifier le code]

Dans l'espace euclidien orienté de dimension 3, un point M\left(x,y,z\right) appartient à la droite passant par A\left(x_A,y_A,z_A\right) et de vecteur directeur \vec{u}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} (non nul) si et seulement si le produit vectoriel \overrightarrow u\and\overrightarrow{AM} est le vecteur nul. Plus généralement, dans tout espace affine de dimension 3, cette droite est déterminée par le système de trois équations

\begin{cases} b(z-z_A)-c(y-y_A)=0 \\ c(x-x_A)-a(z-z_A)=0 \\ a(y-y_A)-b(x-x_A)=0,\end{cases}

qui est redondant car équivalent à deux d'entre elles. En effet, si par exemple a ≠ 0 la première équation se déduit des deux autres :

\left(z-z_A=\frac ca(x-x_A)\text{ et }y-y_A=\frac ba(x-x_A)\right)\Rightarrow b(z-z_A)-c(y-y_A)=\left(b\frac ca-c\frac ba\right)(x-x_A)=0.

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

Dans le plan, une droite parallèle à l'axe des abscisses (horizontale) a une équation de la forme :  y = y_0 pour un certain réel y_0.

De même, une droite parallèle à l'axe des ordonnées (verticale) a une équation de la forme :  x = x_0 pour un certain réel x_0.

Recherche d'une équation de droite dans le plan[modifier | modifier le code]

Par résolution d'un système d'équations[modifier | modifier le code]

Soient deux points non confondus du plan, M\left(u,v\right) et M'\left(u',v'\right).

Si la droite passant par ces deux points n'est pas verticale (u\not=u'), son équation est y=ax+b.

Pour trouver son équation, il faut résoudre le système : \begin{cases}v=au+b \\v'=au'+b\end{cases}

On a a=\cfrac{v'-v}{u'-u} (coefficient directeur).

Pour trouver la constante b (ordonnée à l'origine), il suffit de remplacer les variables x et y respectivement par u et v (ou u' et v').

On a alors v=a\times u+b\, \Leftrightarrow \, b=v-a\times u.

L'équation de la droite est alors finalement \left(MM'\right):y=\cfrac{v'-v}{u'-u}x+v-a\times u

(Dans le cas particulier v'=v, on trouve ainsi la droite horizontale d'équation y=v.)

Ou plus généralement, on peut vérifier que la droite d'équation ax+by+c=0 avec \begin{cases}a=v'-v \\b=u-u' \\c=-(bv+au) \end{cases} est une droite passant par les points M\left(u,v\right) et M'\left(u',v'\right) quelles que soient leurs coordonnées.

Par colinéarité de deux vecteurs[modifier | modifier le code]

Dans le plan, deux points distincts A et B déterminent une droite \left(AB\right).

M\left(x,y\right) est un point de cette droite si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AM} sont colinéaires (on obtiendrait la même équation finale en intervertissant les rôles de A et B).

On obtient l'équation de la droite en écrivant x_{\scriptstyle \overrightarrow{AB}}y_{\scriptstyle \overrightarrow{AM}}-y_{\scriptstyle \overrightarrow{AB}}x_{\scriptstyle \overrightarrow{AM}}=0~, c'est-à-dire \left(x_B-x_A\right)\left(y-y_A\right)-\left(y_B-y_A\right)\left(x-x_A\right)=0.

Finalement, l'équation de la droite \left(AB\right) est : \left(y_B-y_A\right)x+(x_A-x_B)y+x_By_A-x_Ay_B=0.

Lorsque x_B\ne x_A, on aboutit à la même équation en raisonnant sur le coefficient directeur et en écrivant : y-y_A=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}(x-x_A). équivalent à : y=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}x+\left(y_A-\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}x_A \right).

Lorsque x_B=x_A, la droite a simplement pour équation x=x_A.

Exemple  :

Dans le plan, la droite passant par les points A(-1;4) et B(1;0), a pour équation : y-4=\frac{0-4}{1-(-1)}(x-(-1)) soit, après simplification : 2x+y-2=0.

Par orthogonalité de deux vecteurs[modifier | modifier le code]

Soient A un point du plan euclidien et \overrightarrow n un vecteur non nul. La droite passant par A et de vecteur normal \overrightarrow n est l'ensemble des points M du plan tels que :\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow n=0.

Remarques[modifier | modifier le code]

  • Une droite peut avoir une infinité d'équations qui la représentent.
  • Dans le plan, toute droite admet une équation (dite cartésienne) de la forme :  ax + by + c = 0 .

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Article connexe[modifier | modifier le code]

Propriétés métriques des droites et plans