Équation de droite

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En géométrie affine, une équation de droite, au sens large, permet de décrire l'ensemble des points appartenant à cette droite.

Une droite dans un plan affine de dimension 2 est déterminée par une équation cartésienne ; une droite dans un espace affine de dimension 3, est déterminée par un système de deux équations cartésiennes définissant deux plans sécants dont la droite est l'intersection ; etc.

Définition[modifier | modifier le code]

L'équation d'une droite D est une (ou plusieurs) équation(s) du premier degré à plusieurs inconnues (des coordonnées), et dont l'ensemble des solutions forme la droite D.

Dans le plan[modifier | modifier le code]

Dans le plan, l'ensemble des points formant D peut se représenter par une équation de la forme : , et sont des constantes telles que (a, b) ≠ (0, 0). Dans ce cas,

Dans l'espace[modifier | modifier le code]

Dans un espace à trois dimensions en coordonnées cartésiennes, on peut décrire l'ensemble des points formant la droite D par :

  • une équation paramétrique ;
  • un système de deux équations de plans non parallèles ;
  • un système redondant de trois équations, équivalent à deux d'entre elles.

Un système paramétrique[modifier | modifier le code]

Si est un point de la droite D et un vecteur directeur de D, cette droite peut être décrite à l'aide de l'équation paramétrique suivante :

Un système de deux équations[modifier | modifier le code]

La droite D peut aussi être décrite par un système de deux équations de la forme :

sont des constantes telles que les triplets et soient non colinéaires, autrement dit non proportionnels (en particulier, aucun des deux triplets ne doit être nul).

et sont les équations de deux plans non parallèles.

Un système redondant de trois équations[modifier | modifier le code]

Dans l'espace euclidien orienté de dimension 3, un point appartient à la droite passant par et de vecteur directeur (non nul) si et seulement si le produit vectoriel est le vecteur nul. Plus généralement, dans tout espace affine de dimension 3, cette droite est déterminée par le système de trois équations

qui est redondant car équivalent à deux d'entre elles. En effet, si par exemple a ≠ 0 la première équation se déduit des deux autres :

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

Dans le plan, une droite parallèle à l'axe des abscisses (horizontale) a une équation de la forme : pour un certain réel .

De même, une droite parallèle à l'axe des ordonnées (verticale) a une équation de la forme : pour un certain réel .

Recherche d'une équation de droite dans le plan[modifier | modifier le code]

Par résolution d'un système d'équations[modifier | modifier le code]

Soient deux points non confondus du plan, et .

Si la droite passant par ces deux points n'est pas verticale (), son équation est .

Pour trouver son équation, il faut résoudre le système :

On a (coefficient directeur).

Pour trouver la constante (ordonnée à l'origine), il suffit de remplacer les variables et respectivement par et (ou et ).

On a alors .

L'équation de la droite est alors finalement

(Dans le cas particulier , on trouve ainsi la droite horizontale d'équation .)

Ou plus généralement, on peut vérifier que la droite d'équation avec est une droite passant par les points et quelles que soient leurs coordonnées.

Par colinéarité de deux vecteurs[modifier | modifier le code]

Dans le plan, deux points distincts et déterminent une droite .

est un point de cette droite si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires (on obtiendrait la même équation finale en intervertissant les rôles de A et B).

On obtient l'équation de la droite en écrivant c'est-à-dire

Finalement, l'équation de la droite est :

Lorsque , on aboutit à la même équation en raisonnant sur le coefficient directeur et en écrivant : équivalent à :

Lorsque , la droite a simplement pour équation .

Exemple :

Dans le plan, la droite passant par les points et , a pour équation : soit, après simplification :

Par orthogonalité de deux vecteurs[modifier | modifier le code]

Soient A un point du plan euclidien et un vecteur non nul. La droite passant par A et de vecteur normal est l'ensemble des points M du plan tels que :

Remarques[modifier | modifier le code]

  • Une droite peut avoir une infinité d'équations qui la représentent.
  • Dans le plan, toute droite admet une équation (dite cartésienne) de la forme : .

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Article connexe[modifier | modifier le code]

Propriétés métriques des droites et plans