Équation de Michaelis-Menten

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L’équation de Michaelis-Menten (ou de Michaelis-Menten-Henri) permet de décrire la cinétique d'une réaction catalysée par une enzyme agissant sur un substrat unique pour donner un produit. Elle relie la vitesse de la réaction à la concentration de substrat et à des paramètres constants, caractéristiques de l'enzyme. L'équation de Michaelis-Menten fut proposée en 1913 par l'allemand Leonor Michaelis et la canadienne Maud Menten, d'où son nom. Elle peut être considérée comme formalisme simplifié de l'équation de Langmuir-Hinshelwood, suggérée ultérieurement par Irving Langmuir en 1921 et développée par Cyril Norman Hinshelwood en 1926[1]. Elle est adaptée à de nombreuses enzymes, mais ne permet cependant pas de rendre compte de comportements complexes, comme la multiplicité des substrats ou l'existence de plusieurs sites actifs présentant des comportements coopératifs ou anticoopératifs (allostérie).

Formule et représentation[modifier | modifier le code]

Représentation de Michaelis–Menten montrant la vitesse de réaction v selon la concentration du substrat [S]

Selon le modèle de Michaelis et Menten, l'équation décrivant la vitesse de réaction enzymatique est la suivante :

Avec :

  •  : vitesse initiale (c’est-à-dire en absence de produit) de la réaction enzymatique pour une concentration de substrat , cette vitesse a la dimension d'une concentration par unité de temps (par exemple en µmol/min)[2] ;
  •  : vitesse initiale maximale, notée sur la figure ci-contre, mesurée pour une concentration saturante de substrat, dans la même unité que (par exemple en µmol/min)[2] ;
  •  : Concentration en substrat (en mol/L)[2] ;
  • est la Constante de Michaelis spécifique de l'enzyme.

L'ordre de réaction dépend des grandeurs relatives des deux termes au dénominateur. Aux basses concentrations du substrat de sorte que Sous ces conditions la vitesse de réaction est fonction linéaire de la concentration du substrat et la cinétique est du premier ordre. Cependant aux valeurs plus elevées de avec , la vitesse devient indépendante de (cinétique d'ordre zéro) et approche la vitesse maximale de façon asymptotique. Cette vitesse est atteinte lorsque tout l'enzyme est lié au substrat. L'ajout ultérieur du substrat n'augmente pas la vitesse qui est dite saturée.

Constante de Michaelis[modifier | modifier le code]

La constante de Michaelis a la dimension d'une concentration (même unité que )

    • elle est définie par
      • où les constantes ki sont les constantes de vitesse du modèle suivant :
      • (voir ci-dessous pour la démonstration).
    • C'est aussi la concentration en substrat pour laquelle la vitesse initiale de la réaction est égale à la moitié de la vitesse initiale maximale (en mol/L)[2].
    • Elle correspond à l'inverse de la constante de dissociation apparente du substrat pour l'enzyme dans certaines conditions. En effet, on constate que la définition de la constante de Michaelis peut être reformulée : , en se souvenant que la définition de la constante de dissociation est : . On voit donc bien que, dans des conditions d'équilibre (qui elles seules permettent de mesurer des constantes d'équilibre K), la constante prend en compte la valeur de la constante de dissociation de l'enzyme pour le substrat, mais qu'en conditions catalytiques (lorsque l'enzyme peut fonctionner et que ES donne E + P), on doit prendre en compte le rapport de la constante de vitesse de l'enzyme et de la constante de dissociation non-productive de ES: . Dit autrement, lorsque l'enzyme n'est pas catalytiquement active , alors . Ainsi, il y a bien un lien entre le et le mais ils ne sont pas équivalents. Rappelons aussi que (la constante de dissociation est l'inverse de la constante d'affinité) et donc, que le , sous ces conditions, peut mesurer la constante de dissociation, et indirectement l'affinité de l'enzyme pour le substrat.

Graphiquement, l'équation de Michaelis-Menten est une branche d'hyperbole.

Détermination des constantes[modifier | modifier le code]

Il existe plusieurs méthodes pour déterminer les paramètres de Michaelis-Menten d'une enzyme. Dans la pratique, on réalise une série de mesures de la vitesse initiale de la réaction pour différentes valeurs de la concentration de substrat [S]. Il est important de se placer dans des conditions de vitesse initiale (absence de produit P en quantité significative) pour respecter les hypothèses simplificatrices discutées ci-dessous.

Historiquement, pour déterminer numériquement les paramètres et , les enzymologistes ont eu recours à différentes formes de linéarisation de l'équation de Michaelis-Menten. Il s'agit de changements de variables qui transforment l'équation initiale en équation linéaire, qu'il est alors possible d'ajuster graphiquement ou par régression linéaire. Parmi ces linéarisations classiques, on peut citer la représentation de Lineweaver et Burk, celle de Eadie et Hofstee ou celle de Scatchard.

Aujourd'hui, ces différentes techniques ont été remplacées par la régression non linéaire, plus précise et plus robuste.

Représentation de Lineweaver-Burk[modifier | modifier le code]

Représentation de Lineweaver & Burk

Dans cette approche, on détermine les constantes de l'enzyme et par la représentation des inverses (représentation de Lineweaver et Burk) qui est une droite d'équation :

Pour un graphique de en fonction de , la pente est et l'ordonnée à l'origine est ,

d'où

et

Cette représentation est une des plus précises quant à la détermination des caractéristiques de l'enzyme (Vmax, Km). En effet, les représentations de Lineweaver-Burk et Eadie-Hofstee ont une coordonnée en 1/[S]0, donc les mesures les plus précises seront concentrées dans la même région (voisines de l'axe vertical) et peu de mesures avec une erreur relativement grande existeront pour des faibles valeurs de concentration de substrat : le tracé à la règle de la "meilleure" droite sera entaché d'erreur.

La représentation de Hanes-Woolf est considérée moins susceptible à la propagation statistique des erreurs de mesure.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Démonstration de l'équation de Michaelis-Menten

Avec les constantes de vitesse des réactions.

L'analyse de Michaelis-Menten se fait sous deux hypothèses simplificatrices :

  • Pas de réaction inverse. On se place dans des conditions initiales où il n'y a pas de produit P dans le test enzymatique. On analyse la vitesse initiale de la réaction, avant que le produit ait le temps de s'accumuler. La catalyse est alors très déplacée dans le sens de la synthèse des produits, la réaction inverse dont la vitesse est est alors pratiquement inexistante, puisque [P]≈0.
  • Approximation des états quasi stationnaires. On suppose que la concentration du complexe enzyme-substrat est assez constante, ce qui revient à dire qu'à tout instant on a . En effet le premier équilibre dans l'équation ci-dessus qui dépend des constantes cinétiques et est très rapide devant l'étape de catalyse proprement dite, déterminée par , qui est en général limitante.

Le système se simplifie alors de la manière suivante :


La vitesse de formation du complexe est

La vitesse d'élimination du complexe est

Pendant la phase stationnaire, la concentration du complexe enzyme-substrat est constante. Donc la vitesse de formation de ce complexe doit être égale à celle de dissociation.


Soit

On trouve une constante nommée constante de Michaelis :

Comme est difficile à déterminer expérimentalement, on cherche à s'en affranchir à l'aide d'une autre équation. La concentration en enzyme libre est donné par la relation de la conservation de la quantité d'enzyme avec la concentration totale en enzyme.

Soit

Ce qui donne :

D'où

À  :

D'où

On trouve l'équation de Michaelis :

Cette équation est une expression de la vitesse initiale en fonction de deux constantes : la vitesse maximum, de la constante de Michaelis et de la concentration du substrat.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) K.J. Laidler et J.H. Meiser "Physical Chemistry" (Benjamin-Cummings 1982), p.780
  2. a, b, c et d Le choix des unités est arbitraire et doit rester homogène

Articles connexes[modifier | modifier le code]