Équation de Gross-Pitaevskii

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L' équation de Gross–Pitaevskii est l'équation qui régit l'état et la dynamique d'un gaz de bosons ultra-froids (condensat de Bose-Einstein) sous l'approximation d'Hartree. Sa forme indépendante du temps s'écrit :

,

est la fonction d'onde à une particule, la masse d'une particule, la constante de Planck réduite, le potentiel chimique, et une constante dépendante de la longueur de diffusion du potentiel d'interaction.

Obtention de l'équation de Gross-Pitaevskii[modifier | modifier le code]

On considère un gaz dilué de bosons ultra-froids dans un potentiel de confinement , interagissant entre eux via un potentiel ne dépendant que de la distance entre 2 bosons . Le hamiltonien de ce système est donc :

.

Dans l’approximation de Hartree, la fonction d’onde totale du système est considérée comme étant le produit des fonctions d’onde à une particule  :

.

Une telle forme pour la fonction d'onde totale signifie que les bosons sont tous dans le même état, ce qui est raisonnable à ultra-basse température. De plus, cette fonction d'onde reste inchangée par permutation de 2 particules, ce qui correspond bien à un système bosonique.

Puisque le gaz est dilué, la distance moyenne entre atomes est beaucoup plus grande que la distance caractéristique d’interaction. On considère alors que :

,

est la fonction de Dirac. La théorie de la diffusion nous donne la valeur de la constante de normalisation est la longueur de diffusion à énergie nulle de la collision élastique en onde s entre deux bosons, est la constante de Planck réduite et la masse d'un boson.

On peut montrer[1] que si la fonction d’onde à une particule satisfait l'équation de Gross-Pitaevskii, alors la fonction d’onde totale minimise l’énergie du hamiltonien sous la contrainte de normalisation .

Remarques sur l'équation de Gross-Pitaevskii[modifier | modifier le code]

  • Il est remarquable que cette équation corresponde à l'équation de Schrödinger du gaz parfait à laquelle on ajoute un terme non-linéaire. L'équation de Gross Pitaevskii est d'ailleurs souvent appelée équation de Schrödinger non linéaire par les mathématiciens.
  • Le choix de la condition de normalisation est essentiel pour l'obtention de l'équation de Gross-Pitaevskii. Cependant, en changeant cette normalisation, on change l'équation. Elle devient par exemple si on choisit . Malgré les apparences, ceci n'est qu'un artifice mathématique, et ne change rien à la physique sous-jacente.

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) C. J. Pethick et H. Smith, Bose–Einstein Condensation in Dilute Gases, Cambridge, Cambridge University Press, (ISBN 978-0-521-66580-3)