Élagage alpha-bêta

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Élagage alpha-bêta

En informatique, plus précisément en intelligence artificielle et en théorie des jeux, l’élagage alpha-bêta (abrégé élagage αβ) est une technique permettant de réduire le nombre de nœuds évalués par l'algorithme minimax.

L'algorithme minimax effectue en effet une exploration complète de l'arbre de recherche jusqu'à un niveau donné, alors qu'une exploration partielle de l'arbre est généralement suffisante : lors de l'exploration, il n'est pas nécessaire d'examiner les sous-arbres qui conduisent à des configurations dont la valeur ne contribuera pas au calcul du gain à la racine de l'arbre. L’élagage αβ nous permet de réaliser ceci. Plus simplement, l'élagage αβ évite d'évaluer des nœuds dont on est sûr que leur qualité sera inférieure à un nœud déjà évalué, il permet donc d'optimiser grandement l'algorithme minimax sans en modifier le résultat.

Il est très utilisé dans le cas de jeux à 2 joueurs, comme les échecs ou les dames[réf. souhaitée].

Principe[modifier | modifier le code]

On prend α et β appartenant au domaine d’arrivée de la fonction d’évaluation tel que α < β. On définit la fonction AlphaBeta ainsi :

  • AlphaBeta(P, α, β) = g(P) si P est une feuille de l'arbre et g la fonction d'évaluation du nœud
  • AlphaBeta(P, α, β) = min(β, max(-AlphaBeta( , -β, -α))) où les sont les enfants du nœud P

On appelle fenêtre αβ le couple (α, β) où α et β sont les deux paramètres d’appel de la fonction. Les nœuds élagués sont ceux qui seraient appelés avec une fenêtre tel que α ≥ β. Il existe 3 types de nœuds ne pouvant donc pas être élagués :

  • Nœud de type 1 : fenêtre d’appel : (-∞, +∞)
  • Nœud de type 2 : fenêtre d’appel : (-∞, β) avec β ≠ +∞
  • Nœud de type 3 : fenêtre d’appel : (α, +∞) avec α ≠ -∞

Alpha-beta cuts.png

Le schéma ci-dessus présente les deux types de coupures possibles. Les nœuds Min sont représentés par un rond bleu et les nœuds Max par un carré gris. Rappel : les nœuds Min prennent la valeur minimum de leurs enfants (et respectivement maximum pour les nœuds Max).

Coupure Alpha : le premier enfant du nœud Min V vaut 4 donc V vaudra au plus 4. Le nœud Max U prendra donc la valeur 5 (maximum entre 5 et une valeur inférieure ou égale à 4).

Coupure Bêta : le premier enfant du nœud Max V vaut 4 donc V vaudra au minimum 4. Le nœud Min U prendra donc la valeur 3 (minimum entre 3 et une valeur supérieure ou égale à 4).

Pseudocode[modifier | modifier le code]

Ci-dessous le pseudocode de l'algorithme alpha-bêta : α est initialisé à -∞ et β à +∞

fonction alphabeta(nœud, α, β) /* α est toujours inférieur à β */
   si nœud est une feuille alors
       retourner la valeur de nœud
   sinon si nœud est de type Min alors
           v = +∞
           pour tout fils de nœud faire
               v = min(v, alphabeta(fils, α, β))                
               si α ≥ v alors  /* coupure alpha */
                   retourner v
               β = Min(β, v)           
    sinon
           v = -∞
           pour tout fils de nœud faire
               v = max(v, alphabeta(fils, α, β))                
               si v ≥ β alors /* coupure beta */
                   retourner v
               α = Max(α, v)
    retourner v

De la même manière que l'algorithme minimax peut être remplacé par NegaMax, on simplifie Alpha-Beta. Cela donne l’algorithme suivant :

fonction alphabeta(nœud, A, B) /* A < B */
   si nœud est une feuille alors
       retourner la valeur de nœud
   sinon
       meilleur = –∞
       pour tout fils de nœud faire
           v = -alphabeta(fils,-B,-A)
           si v > meilleur alors
               meilleur = v
               si meilleur > A alors
                   A = meilleur
                   si A ≥ B alors
                       retourner meilleur
       retourner meilleur

Exemple[modifier | modifier le code]

Nous allons illustrer l’algorithme sur l’arbre ci-dessous déjà étiqueté avec les valeurs d’un minimax. Le résultat obtenu est le schéma ci-dessous.

Minimax avec élagage alpha-bêta

Plusieurs coupures ont pu être réalisées. De gauche à droite :

  1. Le nœud MIN vient de mettre à jour sa valeur courante à 4. Celle-ci, qui ne peut que baisser, est déjà inférieure à α=5, la valeur actuelle du nœud MAX précédent. Celui-ci cherchant la valeur la plus grande possible, ne la choisira donc de toute façon pas.
  2. Le nœud MIN vient de mettre à jour sa valeur courante à 6. Celle-ci, qui ne peut que baisser, est déjà égale à α=6, la valeur actuelle du nœud MAX précédent. Celui-ci cherchant une valeur supérieure, il ne mettra de toute façon pas à jour sa valeur que ce nœud vaille 6 ou moins.
  3. Le nœud MIN vient de mettre à jour sa valeur courante à 5. Celle-ci, qui ne peut que baisser, est déjà inférieure à α=6, la valeur actuelle du nœud MAX précédent. Celui-ci cherchant la valeur la plus grande possible, ne la choisira donc de toute façon pas.

Améliorations possibles[modifier | modifier le code]

La plupart des améliorations d'alpha-bêta sont destinées à augmenter le nombre de coupes pour augmenter les nœuds qui ne sont pas examinés. Cela s'obtient grâce à des heuristiques comme l'exploration en premier des coups qui ont permis d'effectuer des coupes dans des nœuds du même niveau (killer move) ; d'autres améliorations permettent de rétrécir l'intervalle de départ entre les valeurs alpha et bêta utilisées dans le nœud racine et débouchent sur des améliorations comme Negascout ou MTD-F.

On peut trier les positions à tester à chaque profondeur testée, pour améliorer le temps ou la profondeur totale de calcul à chaque demi-coup, selon la limitation en profondeur totale ou en temps de calcul à chaque demi-coup.

Applications de la technique[modifier | modifier le code]

Alpha-béta est largement utilisé par les programmes qui jouent aux jeux de réflexion.

Annexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • A. Aho, J. Hopcroft, J. Ullman, Structures de données et algorithmes, Paris, InterEditions, , 450 p. (ISBN 2-7296-0194-5), « Conceptions et stratégies algorithmiques »

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]


Lien externe[modifier | modifier le code]

  • Tristan Cazenave, « Des optimisations de l'Alpha-Beta », Actes du colloque de Berder,‎ (lire en ligne [PDF])