Élément maximal
(Redirigé depuis Élément minimal)
En mathématiques, un élément d'un ensemble préordonné est dit maximal (resp. minimal) s'il n'existe aucun autre élément de cet ensemble qui lui soit supérieur (resp. inférieur). Un élément maximal n'est en général pas le plus grand élément, ces deux notions coïncident uniquement si l'ensemble est totalement ordonné.
Définition
[modifier | modifier le code]On dit que a est dit élément maximal d'un ensemble préordonné (E, ≤) si a est un élément de E tel que[1] :
De même, a est un élément minimal de E si :
Propriétés
[modifier | modifier le code]Pour tout élément maximal a de E, on a les équivalences et l'implication (stricte) :
Si l'ordre est total, les notions d'élément maximal et de plus grand élément sont confondues (de même pour élément minimal et plus petit élément).
Exemples
[modifier | modifier le code]- L'ensemble des parties d'un ensemble E, muni de l'inclusion, a pour seul élément maximal E, qui est aussi le plus grand élément.
- L'ensemble des parties propres (différentes de l'ensemble lui-même) d'un ensemble E non vide, muni de l'inclusion, a pour éléments maximaux tous les E\{a} pour a ∈ E. Il n'y a pas de plus grande partie propre dès que E a plus de deux éléments.
- L'ensemble des entiers naturels muni de l'ordre usuel est un exemple d'ordre qui n'a pas de plus grand élément, donc (puisque cet ordre est total) pas d'élément maximal.
- L'ensemble des suites finies de 0 et de 1, muni de l'ordre préfixe, (u0, …, un) ≤ (v0, …, vp) quand n ≤ p et pour tout i ≤ n, ui = vi, est un ordre partiel qui n'a pas d'éléments maximaux, et la suite vide pour plus petit élément (donc seul élément minimal).
- Un arbre muni de la relation « est un ancêtre de » a pour éléments maximaux toutes ses feuilles (il n'en existe pas forcément, les branches pouvant être infinies).
Notes et références
[modifier | modifier le code]- ↑ N. Bourbaki, Éléments de mathématique : Théorie des ensembles [détail de l’édition], III.8 Définition 3
Voir aussi
[modifier | modifier le code]Articles connexes
[modifier | modifier le code]Liens externes
[modifier | modifier le code]- (en) Eric W. Weisstein, « Maximal Element », sur MathWorld
