Jean-Claude Sikorav

Jean-Claude Sikorav est un mathématicien français né le 21 juin 1957 à Paris, professeur à l’École normale supérieure de Lyon. Il s'agit d'un spécialiste reconnu de géométrie symplectique. Il aura également été pendant longtemps directeur du département de mathématiques de l'École normale supérieure de Lyon.

Famille, parcours scolaire et enseignement

Fils du cardiologue Henri Sikorav, Jean-Claude Sikorav fait ses études secondaires au lycée Janson-de-Sailly avant de rejoindre le lycée Louis-le-Grand pour y faire une classe préparatoire. Il intègre la prestigieuse École normale supérieure de la rue d’Ulm (promotion S1976). En 1982, sous la direction de François Laudenbach, il achève sa thèse sur le thème de la géométrie différentielle à l'université d'Orsay. En novembre 1990, il a l'honneur d'être conférencier du séminaire Bourbaki, une des plus grandes institutions contemporaines de mathématiques, baromètre de l'avancée et de la réputation des mathématiques. En 2011, il reçoit les Palmes académiques, récompense de son dévouement pour l'enseignement à l'École normale supérieure de Lyon.

Un théorème de Laudenbach et Sikorav

Jean-Claude Sikorav est particulièrement connu pour un résultat important obtenu avec François Laudenbach : Si $M$ est une variété fermée, son fibré cotangentfibré cotangent $T^{*}M$ admet une structure de variété symplectique pour laquelle $M$ est une sous-variété lagrangienne. Si $f$ est un difféomorphisme hamiltonien à support compact, une des formes de la conjecture de Vladimir Arnold est que $f(M)$ et $M$ se coupent en au moins $crit(M)$ points. Helmut Hofer montre qu'il y a au moins $cuplength(M)+1$ points d'intersections. François Laudenbach et Jean-Claude Sikorav minorent le nombre de points d'intersections par un analogue stable de $crit(M)$.

Un théorème de Chaperon-Sikorav-Viterbo

Tout commence avec Marc Chaperon qui prouve une conjecture de Vladimir Arnold en géométrie symplectique globale sur les intersections de variétés lagrangiennes dans le cotangent du tore, permettant en particulier de construire des solutions faibles globales (solutions « minimax », dites de Chaperon-Sikorav ou de Chaperon-Sikorav-Viterbo) de l’équation de Hamilton–Jacobi.

Le théorème en lui-même, quelquefois appelé théorème d’existence et d’unicité de Sikorav-Viterbo, stipule que si $X$ est une variété fermée, toute sous-variété lagrangienne de $T^{*}X$ isotope à la section nulle $\{(x;0)|x\in X\}$ admet une fonction génératrice quadratique à l'infini (fgqi) ; et que de plus, toutes les fgqi d’une telle sous-variété sont équivalentes. Jean-Claude Sikorav a plus particulièrement démontré l'existence de fqgi, pendant que Claude Viterbo en démontrait l'unicité. Ce théorème d'existence a par la suite été étendu par Yuri Chekanov, qui a montré que l'existence de cette classe de fonctions génératrices s'étendait aux variétés non compactes, pour les sous-variétés legendriennes.

Ce théorème est d'une importance certaine dans la mesure où il sert de base à la recherche de solutions « minimax » et solutions de viscosité de l’équation de Hamilton–Jacobi.

Récompenses

• Médaille d’or aux Olympiades internationales de mathématiques de 1975, avec un score parfait de 40/40.
• Chevalier des Palmes académiques.
• Il reçut pour l’année 1988 une charge de cours au Collège de France par la fondation Claude-Antoine Peccot, chaire annuelle réservée au bénéfice de mathématiciens de moins de trente ans s’étant signalés dans l’ordre des mathématiques théoriques ou appliquées.

Bibliographie

• Uniformisation des surfaces de Riemann, par Henri Paul de Saint-Gervais, pseudonyme d'un groupe de 15 mathématiciens dont fait partie Jean-Claude Sikorav, avec, entre autres, Étienne Ghys.

Publications

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