Profondeur d'un module

En algèbre commutative, la profondeur d'un module sur un anneau commutatif anneau $A$ est une concept qui intervient notamment dans la définition d'un anneau de Cohen-Macaulay : ce dernier est caractérisé par le fait que pour tout idéal premier $P$ de $A$ , l'anneau local $A_{P}$ est de profondeur (en tant que $A_{P}$ -module) égale à sa dimension de Krull, au sens des définitions données ci-dessous.

Définitions[modifier | modifier le code]

Soit $M$ un module sur un anneau commutatif $A$ . Un élément $a$ de $A$ est dit $M$ -régulier si le seul vecteur $x$ de $M$ tel que $ax=0$ est le vecteur nul. Les éléments $A$ -réguliers sont donc exactement les éléments réguliers $A$ (éléments non diviseurs de 0).

Une suite $(a_{1},\ldots ,a_{n})$ d'éléments de $A$ est une une suite $M$ -régulière si pour tout $i<n$ , l'élément $a_{i}$ est régulier pour le module $M/(a_{1}M+\dots +a_{i-1}M)$ .

Lorsque $A$ est un anneau noethérien, $M$ est de type fini et $I$ est un idéal de $A$ tel que $IM\neq M$ , le plus grand entier $n$ tel qu'il existe une suite $M$ -régulière d'éléments appartenant à $I$ est appelé la $I$ -profondeur de $M$ . Si de plus $A$ est local d'idéal maximal $m$ , la $m$ -profondeur de $M$ est simplement appelée la profondeur de $M$ .

Un anneau noethérien $M$ est un anneau de Cohen-Macaulay si pour tout idéal premier $P$ de $A$ , l'anneau local $A_{P}$ est de profondeur (en tant que $A_{P}$ -module) égale à sa dimension de Krull.

Exemples[modifier | modifier le code]

Tout anneau local régulier est un anneau de Cohen-Macaulay.
Soit $A$ le localisé de $\mathbb {C} [x,y]/(xy,y^{2})$ en l'idéal maximal engendré par $x,y$ . C'est un anneau de dimension 1, mais de profondeur nulle car tout élément de son idéal maximal est diviseur de 0.