Loi du
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Densité de probabilité
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Fonction de répartition
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Paramètres
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(degrés de liberté)
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Support
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Densité de probabilité
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Fonction de répartition
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Espérance
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Mode
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pour
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Variance
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Asymétrie
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Kurtosis normalisé
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Entropie
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![{\displaystyle \ln(\Gamma (k/2))+\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d10d5bcf76800e7afa268cfec2a4a26ecd8e546)
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Fonction génératrice des moments
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(voir détails dans l'article)
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Fonction caractéristique
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(voir détails dans l'article)
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modifier ![Consultez la documentation du modèle](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/38/Info_Simple.svg/12px-Info_Simple.svg.png) |
En théorie des probabilités et en statistique, la loi du
(prononcer « khi ») est une loi de probabilité continue. C'est la loi de la moyenne quadratique de k variables aléatoires indépendantes de loi normale centrée réduite, le paramètre k est le nombre de degrés de liberté. L'exemple le plus courant est la loi de Maxwell, pour k=3 degrés de liberté d'une loi du
; elle modélise la vitesse moléculaire (normalisée).
Si
sont k variables aléatoires indépendantes de loi normale avec pour moyenne
et écart-type
, alors la variable
![{\displaystyle Y={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74e4a2307b8cde142c71637127b4ac83d4db27d1)
est de loi du
.
La densité de probabilité de la loi du
est :
![{\displaystyle f(x;k)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {2^{1-{\frac {k}{2}}}x^{k-1}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}{\Gamma ({\frac {k}{2}})}}&{\text{ pour }}x>0\\0&{\text{ sinon}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d39af21bb5a6f879f5f54eaa28fc34fa67265db8)
où
est la fonction gamma.
La fonction de répartition de la loi du
est :
![{\displaystyle F(x;k)={\begin{cases}\displaystyle P\left({\frac {k}{2}},{\frac {x^{2}}{2}}\right)&{\text{ pour }}x>0\\0&{\text{ sinon}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/097d84267fb82853d5322c39ff3c1a34f5891e25)
où
est la fonction gamma incomplète (régularisée).
La fonction génératrice des moments est donnée par :
![{\displaystyle M(t)=M\left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {t^{2}}{2}}\right)+t{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ({\tfrac {k+1}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {k}{2}})}}M\left({\frac {k+1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {t^{2}}{2}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d657e517a6e3a9095deced4947da86e7ab96783)
où M est la fonction hypergéométrique confluente de Kummer.
La fonction caractéristique est donnée par :
![{\displaystyle \varphi (t;k)=M\left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {-t^{2}}{2}}\right)+it{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ({\tfrac {k+1}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {k}{2}})}}M\left({\frac {k+1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {-t^{2}}{2}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf68ea84a88e0560984acf17c7d62b760babc74d)
où M est encore la fonction hypergéométrique confluente de Kummer.
Les moments de la loi du
sont donnés par :
![{\displaystyle \mu _{j}=2^{j/2}{\frac {\Gamma ({\tfrac {k+j}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {k}{2}})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/797134e2b2b83d8f07b3e81756f2b2bf07880580)
où
est la fonction gamma. Les premiers moments sont :
![{\displaystyle \mu _{1}={\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ({\tfrac {k+1}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {k}{2}})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/729670eebb4b5b373cd97586a76b18c44bdd2a86)
![{\displaystyle \mu _{2}=k\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aad8c53586426c37a6bdec2b5c3b37ef762c94c)
![{\displaystyle \mu _{3}=2{\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ({\tfrac {k+3}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {k}{2}})}}=(k+1)\mu _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45d7b0436e7c34ae77eddff80a4f962a18c0ee70)
![{\displaystyle \mu _{4}=k(k+2)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0135b5a4a6dfeb3f7c1fafa1fbb9d28a46bce5f)
![{\displaystyle \mu _{5}=4{\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ({\tfrac {k+5}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {k}{2}})}}=(k+1)(k+3)\mu _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e746a4468ef6d30e19b55e358e1d47e2ddb6aeb)
![{\displaystyle \mu _{6}=k(k+2)(k+4)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/784c75edf9a36cc2f033c4d5ea3174e3c6e0cc84)
où les expressions sont issues de la relation de récurrence de la fonction gamma :
![{\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3af9765e5fbdd31e3ed649cd3d93f039e415fe82)
à partir de ces expressions, on peut établir les relations suivantes pour l'espérance, la variance, l'asymétrie et enfin le kurtosis :
![{\displaystyle \mu ={\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ({\tfrac {k+1}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {k}{2}})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be6a70055f32e814f583996dcca55731aceca5df)
![{\displaystyle \sigma ^{2}=k-\mu ^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72e24d929fe5092d74e8a0a46a6874975a2219c0)
![{\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\mu }{\sigma ^{3}}}\,(1-2\sigma ^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9518969a271deafd6aec3d93eb787c045570251f)
![{\displaystyle \gamma _{2}={\frac {2}{\sigma ^{2}}}(1-\mu \sigma \gamma _{1}-\sigma ^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff676ed03a93bd3ff46b2b7555efb8810b9e35ef)
L'entropie est donnée par :
![{\displaystyle S=\ln \left(\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(k-\ln(2)-(k-1)\psi _{0}\left({\frac {k}{2}}\right)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c38321b5ac8b32f9bb733fdb6908bf9ac63acd65)
où
est la fonction polygamma.
- Si
alors
, (loi du χ²)
, (loi normale)
- Si
alors
, (loi demi-normale) pour tout ![{\displaystyle \sigma >0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a93bb4226a217819f9ef0467fbb3d47279a7910)
, (loi de Rayleigh)
, (loi de Maxwell)
, (la norme de n variables de loi normale est de loi du
à k degrés de liberté.)
- la loi du
est un cas particulier de la loi Gamma généralisée.
Différentes lois du
et
Lois |
en fonction de variables de loi normale
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loi du χ² |
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loi du χ² non centrée |
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loi du χ |
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loi du χ non centrée |
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