Suite arithmético-géométrique

En mathématiques, une suite arithmético-géométrique est une suite satisfaisant une relation de récurrence affine, généralisant ainsi les définitions des suites arithmétiques et géométriques.

Définition[modifier | modifier le code]

On se place dans un corps commutatif K quelconque, par exemple ℝ (corps des réels) ou ℂ (corps des complexes). Une suite (u_n)_{n ∈ ℕ} à valeurs dans K est dite arithmético-géométrique s'il existe deux éléments $a$ et $b$ de K tels que la suite vérifie la relation de récurrence suivante :

\forall n\in \mathbb {N} ,~u_{n+1}=a\,u_{n}+b

.

Remarque: On peut toujours ramener l'étude d'une suite (u_n)_{n ≥ n₀} à celle d'une suite (v_p)_{p ∈ ℕ} en posant v_p = u_{n₀ + p}^[1]. La suite (u_n) vérifie une relation de la forme ci-dessus pour tout n ≥ n₀ si et seulement si la suite (v_p)_{p ∈ ℕ} est arithmético-géométrique.

Terme général[modifier | modifier le code]

Cas où $a = 1$ [modifier | modifier le code]

Pour le cas $a = 1$ , on a affaire à une suite arithmétique, donc

\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n}=u_{0}+nb

.

Cas où $a \neq 1$ [modifier | modifier le code]

En posant

r={\frac {b}{1-a}}

,

on a :

\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n}=a^{n}(u_{0}-r)+r

(y compris si $a$ et $n$ sont nuls, avec la convention 0⁰ = 1).

Démonstration^[2]^,^[3]

On cherche d'abord le point fixe, c'est-à-dire, le $r$ tel que $f (r) = r$ avec $f$ la fonction $x \mapsto ax + b$ associée à la suite :

ar+b=r\Leftrightarrow r=b/(1-a)

.

Puis on définit une suite translatée :

v_{n}=u_{n}-r

.

La relation $u n + 1 = au n + b$ se traduit alors par $v n + 1 + r = a (v n + r) + b$ donc

v_{n+1}=av_{n}+ar+b-r=av_{n}

.

La suite $(v n)$ est donc géométrique de raison $a$ . Par conséquent,

u_{n}=v_{n}+r=a^{n}v_{0}+r=a^{n}(u_{0}-r)+r

.

D'après la remarque qui suit la définition, on en déduit que, plus généralement :

\forall p\in \mathbb {N} ,\;\forall n\geq p,~u_{n}=a^{n-p}(u_{p}-r)+r

.

Somme des premiers termes[modifier | modifier le code]

Si $a \neq 1$ , toujours en posant $r = b /(1 - a)$ , la somme des n premiers termes (de 0 à n – 1) est :

S_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}u_{k}=(u_{0}-r){\dfrac {1-a^{n}}{1-a}}+nr

.

Démonstration

D'après l'expression du terme général de la section précédente et celle de la somme des premiers termes d'une suite géométrique,

{\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n-1}u_{k}&=\sum _{k=0}^{n-1}\left(a^{k}(u_{0}-r)+r\right)\\&=(u_{0}-r)\left(\sum _{k=0}^{n-1}a^{k}\right)+nr\\&=(u_{0}-r){\frac {1-a^{n}}{1-a}}+nr.\end{aligned}}

On en déduit n'importe quelle somme de termes consécutifs : sous les mêmes hypothèses, pour $n > p$ ,

\sum _{k=p}^{n-1}u_{k}=S_{n}-S_{p}=(u_{p}-r){\dfrac {a^{p}-a^{n}}{1-a}}+(n-p)r

.

Convergence[modifier | modifier le code]

Le terme général et les considérations sur les suites géométriques permettent de déterminer la limite d'une telle suite suivant les valeurs de $a$ et, éventuellement, le signe de $u 0 - r$ (si $a \neq 1$ et $r = b /(1 - a)$ ).

Dans le cas où $| a | < 1$ , la limite de la suite est $r$ quelle que soit la valeur initiale. La limite d'une suite de ce type est donc indépendante des conditions initiales. Cette particularité est à mettre en regard avec les suites à récurrence non linéaire (suite logistique) qui peuvent, elles, être très sensibles aux conditions initiales. Dans une chaîne de Markov, cela prouve que la chaîne converge vers une chaîne stationnaire.

Utilisation[modifier | modifier le code]

Les suites arithmético-géométriques se rencontrent dans la modélisation de certains flux de population (apport fixe et fuite proportionnelle).

Exemple : apport de 10 et fuite de 5 % :

u_{n+1}=u_{n}+10-0{,}05\,u_{n}

.

Elles se rencontrent aussi dans les plans de remboursement : un capital $C$ emprunté à un taux mensuel $t$ et remboursé par mensualités $M$ conduit à l'élaboration d'un plan de remboursement. Si $R n$ représente le capital restant dû au bout de $n$ mensualités, la suite $(R n)$ est une suite arithmético-géométrique de relation de récurrence :

R_{n+1}=(1+t)\,R_{n}-M

.

On les trouve aussi dans une chaîne de Markov à deux états. La matrice stochastique est alors :

{\begin{pmatrix}a&1-a\\1-b&b\end{pmatrix}}

.

De la relation

(p_{n+1},q_{n+1})=(p_{n},q_{n}){\begin{pmatrix}a&1-a\\1-b&b\end{pmatrix}}

on déduit que :

p_{n+1}=ap_{n}+(1-b)q_{n}

.

Comme d'autre part

q_{n}=1-p_{n}

,

en remplaçant on obtient :

p_{n+1}=(a+b-1)p_{n}+1-b

.

Notes et références[modifier | modifier le code]

↑ J'intègre de Deschamps et Warusfel, tome 1, p. 127.^{[réf. incomplète]}
↑ J.-P. Ramis et A. Warusfel (dir.), Mathématiques : Tout-en-un pour la Licence – niveau 1, Dunod, coll. « Sciences Sup », 2018, 3^e éd. (1^re éd. 2006) (lire en ligne), p. 532.
↑ Voir aussi, pour une preuve plus méthodique et incluant le cas $a$ = 1 précédent et les réciproques des deux cas, la leçon sur Wikiversité (lien ci-dessous).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Suite arithmético-géométrique, sur Wikiversity

Portail de l'analyse

[1] J'intègre de Deschamps et Warusfel, tome 1, p. 127.^{[réf. incomplète]}

[2] J.-P. Ramis et A. Warusfel (dir.), Mathématiques : Tout-en-un pour la Licence – niveau 1, Dunod, coll. « Sciences Sup », 2018, 3^e éd. (1^re éd. 2006) (lire en ligne), p. 532.

[3] Voir aussi, pour une preuve plus méthodique et incluant le cas $a$ = 1 précédent et les réciproques des deux cas, la leçon sur Wikiversité (lien ci-dessous).

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