Courbe du dragon

La courbe du dragon (ou « fractale du dragon » ou « courbe de Heighway » ou « dragon de Heighway ») a été pour la première fois étudiée par les physiciens de la NASA John Heighway, Bruce Banks, et William Harter. Elle a été décrite par Martin Gardner dans sa chronique de jeux mathématiques du Scientific American en 1967. Nombre de ses propriétés ont été publiées par Chandler Davis (en) et Donald Knuth. Elle est apparue dans le roman Jurassic Park de Michael Crichton.

Construction[modifier | modifier le code]

L-système[modifier | modifier le code]

La courbe peut être construite par le L-système défini par :

angle 90°
graine FX
règles :
- X $\mapsto$ X+YF+
- Y $\mapsto$ -FX-Y

Ce qui se traduit simplement comme suit : partir d'un segment de base ; puis en suivant la courbe, remplacer chaque segment par deux segments à angle droit en effectuant une rotation de 45° alternativement à droite puis à gauche :

Système de fonctions itérées[modifier | modifier le code]

La courbe du dragon est également l'ensemble limite du système de fonctions itérées suivant, dans le plan complexe :

f_{1}(z)={\frac {(1+i)z}{2}}

f_{2}(z)=1-{\frac {(1-i)z}{2}}

(avec comme ensemble de points initial $S_{0}=\{0;1\}$ ).

ou encore, en coordonnées cartésiennes (représentation plus souvent utilisée dans des logiciels tels qu'Apophysis (en)) :

f_{1}(x,y)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\cos 45^{\circ }&-\sin 45^{\circ }\\\sin 45^{\circ }&\cos 45^{\circ }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}

f_{2}(x,y)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\cos 135^{\circ }&-\sin 135^{\circ }\\\sin 135^{\circ }&\cos 135^{\circ }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}.

Pliage[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Suite de pliage de papier.

Suivre une itération de la courbe du dragon fait apparaître une suite de rotations à 90° vers la droite ou vers la gauche. Pour les premières itérations, la séquence de « droite » (D) et « gauche » (G) est la suivante :

1^re itération : D

2^e itération : D D G

3^e itération : D D G D D G G

4^e itération : D D G D D G G D D D G G D G G

Empiriquement, on peut observer la règle de construction suivante : on peut construire l'itération suivante en prenant l'itération en cours, ajoutant un D, puis en ajoutant l'itération courante inversée et en intervertissant D et G.

Ce schéma suggère la méthode suivante de modélisation par pliage : prenez une bande de papier et pliez-la en son milieu par la droite. Pliez-la à nouveau par la droite et répétez l'opération autant de fois que possible. Dépliez la bande en conservant les pliures à 90°. La courbe du dragon apparaît.

Ce motif donne également une méthode pour déterminer la direction de la n-ième rotation dans la séquence. Écrivons un entier n sous la forme k2^m où k est un nombre impair. La direction de la n-ième rotation est déterminée par k modulo 4 (reste de la division de k par 4). Si le reste vaut 1 alors la n-ième rotation est « droite », sinon c'est « gauche ».

Propriétés de la courbe du dragon[modifier | modifier le code]

Dimensions[modifier | modifier le code]

En dépit de son aspect irrégulier, la courbe du dragon s’inscrit dans des proportions simples. Ces résultats se déduisent de son mode de construction.

Sa surface vaut ½ (considérant que le segment de base a pour longueur 1). Ce résultat se déduit de ses propriétés de pavage.
Sa frontière a une longueur infinie.
La courbe ne se traverse jamais.
La courbe du dragon révèle nombre d’auto-similarités. La plus visible est la répétition du même motif après rotation de 45° et réduction de √2.

Sa dimension de Hausdorff peut être calculée : à chaque itération le nombre de segments double avec un facteur de réduction de √2. La dimension de Hausdorff vaut donc ${\frac {\log 2}{\log {\sqrt {2}}}}=2$ . Cette courbe couvre donc le plan.
Sa frontière est une fractale dont la dimension de Hausdorff vaut $\log _{2}\left({\frac {1+{\sqrt[{3}]{73-6{\sqrt {87}}}}+{\sqrt[{3}]{73+6{\sqrt {87}}}}}{3}}\right)\approx$ 1,5236 (calculée par Chang et Zhang^[1]).

Pavage[modifier | modifier le code]

La courbe du dragon peut paver le plan de multiples manières (voir encadré).

1^er élément de pavage par 4 courbes
2^e élément de pavage par 4 courbes
3^e élément de pavage par 4 courbes
La courbe du dragon peut se paver elle-même.
1^er élément de pavage par 2 courbes
2^e élément de pavage par 2 courbes (twin dragon)
3^e élément de pavage par 2 courbes
Un exemple de pavage du plan
Autre exemple de pavage du plan
Autre exemple de pavage du plan
Des courbes de taille croissante (ratio racine(2)) forment une spirale infinie. 4 de ces spirales, disposées à 90°, pavent le plan.

Variantes de la courbe du dragon[modifier | modifier le code]

Twindragon[modifier | modifier le code]

Twindragon construite à partir de 2 dragons

La twindragon (mot à mot « dragon jumeau », connue également sous le nom de dragon de Davis-Knuth) est une variante de la courbe du dragon qui peut être construite en plaçant deux dragons dos à dos. Cette courbe est la limite de l’IFS suivante :

f_{1}(z)={\frac {(1+i)z}{2}}

f_{2}(z)={\frac {(1+i)z+1-i}{2}}

.

Terdragon[modifier | modifier le code]

La terdragon peut être construite à partir du L-système suivant :

angle 120°
graine F
règle : F $\mapsto$ F+F-F

C’est également la limite de l'IFS suivant :

f_{1}(z)=\lambda z~

;

f_{2}(z)={\frac {i}{\sqrt {3}}}z+\lambda

;

f_{3}(z)=\lambda z+\lambda ^{*}~

;

\mathrm {o{\grave {u}}~} \lambda ={\frac {1}{2}}-{\frac {i}{2{\sqrt {3}}}}{\mbox{ et }}\lambda ^{*}={\frac {1}{2}}+{\frac {i}{2{\sqrt {3}}}}.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Dragon curve » (voir la liste des auteurs).

↑ (en) Angel Chang et Tianrong Zhang, « On the Fractal Structure of the Boundary of Dragon Curve ».

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Sur les autres projets Wikimedia :

Courbe du dragon, sur Wikimedia Commons

Article connexe[modifier | modifier le code]

Liste de fractales par dimension de Hausdorff

Liens externes[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Dragon Curve », sur MathWorld
(en) Paperfolding and the Dragon curve
Courbe du dragon en Flash

Portail de la géométrie

[1] (en) Angel Chang et Tianrong Zhang, « On the Fractal Structure of the Boundary of Dragon Curve ».

[1]

v · m Fractales
Caractéristiques	Dimensions fractales Assouad Minkowski-Bouligand Hausdorff Récursivité Autosimilarité
Système de fonctions itérées	Fougère de Barnsley Ensemble de Cantor Flocon de Koch Éponge de Menger Tapis de Sierpiński Triangle de Sierpiński Courbes Blanc-manger Cesàro De Rahm (en) Dragon Dragon d'or Gosper Hilbert Koch Lebesgue Lévy Courbe remplissante courbe de Peano remplissant le flocon de Koch Sierpiński (en)
Attracteur étrange	Multifractale
L-Système	Canopée fractale Courbe remplissante Arbre en H
Création	Burning ship Julia Liapounov Mandelbrot Newton Tricorne (en) Mandelbox Mandelbulb
Techniques de rendu photoréaliste	Buddhabrot Piège orbital (en) Trognon de Pickover (en)
Fractales aléatoires	Mouvement brownien Terrain fractal Théorie de la percolation Chemin auto-évitant
Personnalités	Georg Cantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Lévy Alexandre Liapounov Benoît Mandelbrot Lewis Fry Richardson Wacław Sierpiński
Liste de fractales par dimension de Hausdorff Art fractal La Théorie du chaos (livre)