Volume d'une boule

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Le volume d'une boule de rayon R est

\frac43 π R3.

Histoire[modifier | modifier le code]

Sphère inscrite dans un cylindre.

Euclide, dans la proposition 18 du livre XII de ses Éléments, vers 300 av. J-C., énonce que le volume d'une boule est proportionnel au cube de son diamètre. Il démontre ce résultat par la méthode d'exhaustion, en encadrant la boule par des polyèdres.

Archimède, dans De la sphère et du cylindre (vers 220 av J.-C.) compare les volumes d'une boule, d'un cylindre et d'un cône. Il connaît le volume du cylindre et du cône et démontre que, si une boule est inscrite dans un cylindre, alors le volume de cette boule est égal aux deux tiers de celui du cylindre circonscrit (et au double du volume du cône ayant la même base et la même hauteur que le cylindre). Il démontre que le rapport entre les aires de la sphère et du cylindre est le même qu'entre les volumes des parties de l'espace qu'elles délimitent ; ce qu'il énonce ainsi[1] :

« Un cylindre qui a une base égale à un grand cercle d'une sphère, et une hauteur égale au diamètre de cette sphère, est égal à trois fois la moitié de cette sphère, et la surface de ce cylindre est aussi égale à trois fois la moitié de la surface de cette même sphère. »

Cette découverte fera de lui un mathématicien particulièrement important dans l'Histoire[2]. Il en est si fier qu'il donne des instructions pour que sa tombe soit gravée d'une sphère inscrite dans un cylindre[2],[3].

Démonstrations[modifier | modifier le code]

Par la méthode d'exhaustion[modifier | modifier le code]

Le principe de la méthode d'exhaustion (attribuée à Eudoxe de Cnide) est un double raisonnement par l'absurde, supposant d'abord que le volume est supérieur à 4\pi R^3/3, puis qu'il est inférieur, et à obtenir une contradiction dans chaque cas. Bien que cette démonstration soit parfaitement rigoureuse, il est clair qu'elle suppose de connaître déjà le résultat à établir ; avant la découverte du palimpseste d'Archimède, on ignorait comment il était parvenu à obtenir ceux du traité De la sphère et du cylindre.

Par le calcul intégral[modifier | modifier le code]

Illustration du calcul du volume d'une sphère par intégration

La méthode d'Archimède (redécouverte dans le palimpseste portant son nom) consiste à découper la boule en disques minces dont on ajoute le volume (assimilé au produit de leur surface par leur épaisseur). En langage moderne, cela revient à calculer la limite d'une somme de Riemann, et donc à calculer une intégrale définie. Si l'on considère la variable h allant de –R à R, le disque correspondant à la hauteur h et d'épaisseur infinitésimale dh a pour rayon rh vérifiant, d'après le théorème de Pythagore rh2 + h2 = R2 ; comme le volume de ce disque est π rh2 dh, on obtient comme volume de la boule

\int_{-R}^R\pi(R^2-h^2){\rm d}h=4\pi R^3/3.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Marc Szwajcer (numérisation), « Traduction par François Peyrard, 1807 », sur L'antiquité grecque et latine du moyen âge, site de Philippe Remacle
  2. a et b (en) « Archimedes », Encyclopædia Britannica
  3. On trouvera plus de détails sur cette tombe à l'article Archimède

Article connexe[modifier | modifier le code]

Calcul du volume de l'hypersphère