Vergence

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Dans l'air, la vergence est l'inverse de la distance focale.

En optique géométrique, la vergence est une grandeur algébrique qui sert à caractériser les propriétés de focalisation d'un système optique.

Dans le cas d'un système optique plongé dans l'air (ou le vide) la vergence peut être définie simplement comme l'inverse de la distance focale, avec la convention suivante : vergence positive pour un système convergent, négative pour un système divergent[1].

D'une manière plus générale, pour définir la vergence d'un système optique séparant des milieux dont les indices de réfraction sont différents, tel que par exemple un dioptre sphérique, il faudra faire intervenir les indices de réfraction concernés. Mais elle restera inversement proportionnelle aux distances focales.

La vergence est une grandeur algébrique et elle est homogène à l'inverse d'une longueur en mètres. Elle est équivalente à la notion de puissance optique (ou puissance intrinsèque), que les anglo-saxons appellent simplement puissance (power). L'unité couramment utilisée est la dioptrie (δ).

L'intérêt essentiel de la vergence est sa facilité de calcul. Nous verrons ci-après comment la calculer pour un dioptre. Et, lorsque deux éléments minces sont accolées l'un à l'autre, la vergence de l'ensemble est la somme des vergences des deux éléments. La vergence est également incontournable en optique matricielle, qui permet la numérisation des calculs optiques.

Vergence et distances focales d'un dioptre sphérique[modifier | modifier le code]

Soit un dioptre sphérique de rayon algébrique :

R = {\overline{SC}}

(c'est-à-dire R est la distance algébrique du sommet S du dioptre au centre C de ce dioptre)

Si R>0 le dioptre est convexe, si R<0 le dioptre est concave.

Ce dioptre sépare, dans le sens du trajet de la lumière, deux milieux successifs d'indices n_1 et n_2.

Alors la vergence de ce dioptre est (par définition) :

V=\frac{n_2 - n_1}{R}

Le dioptre sera convergent si sa vergence est positive, c'est-à-dire si le centre du dioptre C est situé dans le milieu d'indice de réfraction le plus élevé.

Et on démontre que (dans les conditions de Gauss), les distances focales sont :

distance focale objet : f=\frac{-n_1}{V} = \frac{-n_1}{n_2-n_1}R

distance focale image : f'=\frac{n_2}{V} = \frac{n_2}{n_2-n_1}R

Exemple : dioptre sphérique convexe de rayon 1 m, séparant l'air du verre (dans cet ordre) :

V=\frac{1,5 - 1}{1}= 0,5 \ \delta  ; f=\frac{- 1}{0,5}= - 2 m  ; f'=\frac{1,5}{0,5}= 3 m

Vergence V de l'association de deux systèmes centrés[modifier | modifier le code]

Soient deux systèmes optiques centrés, donc possédant un même axe de symétrie de révolution appelé axe optique, distants de e, de vergences V_1 et V_2 et séparés par un milieu d'indice n_i (indice intérieur). On a (formule de Gullstrand) la vergence V de l'association par :

V = V_1 + V_2 - \frac{e}{n_i} V_1 \, V_2

La formule précédente étant valable pour n'importe quelle association de systèmes centrés, on peut déterminer la vergence, et donc le caractère convergent ou divergent d'un système connaissant les vergences des sous-systèmes qui le composent.

Dans le cas de deux dioptres sphériques successifs de rayons R_1 et R_2, plongés dans l'air (n_1=n_2=1), on a :

V = (n_i -1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} + \frac{n_i-1}{n_i}\, \frac{e}{R_1\, R_2} \right)

Calcul de la vergence V d'une lentille mince[modifier | modifier le code]

On considère généralement qu'une lentille est mince si l'épaisseur séparant les deux dioptres qui la composent est négligeable devant le rayon des dioptres ainsi que devant la différence des rayons des dioptres. On appelle n_i l'indice intérieur de la lentille. Dans le cas simple où cette lentille est plongée dans l'air on a (avec les mêmes notations que précédemment) :

V = (n_i -1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right) = V_1 + V_2

Pour les lentilles minces à bord mince on a R_1>R_2 et par suite V est positif. Ces lentilles sont donc convergentes. C'est le cas en particulier pour les lentilles biconvexes : R_1>0 et R_2<0

Pour les lentilles à bord épais (par exemple biconcaves) on a R_1<R_2 et par suite V est négatif : elles sont divergentes.

cas d'une lentille mince plongée dans l'air[modifier | modifier le code]

Dans le cas d'une lentille mince plongée dans l'air (ou le vide), l'indice de réfraction est 1 et la distance focale image f' est donnée par :

\frac{1}{f'} = V

On retrouve ainsi la définition donnée au début pour ce cas particulier.

Lentilles minces accolées[modifier | modifier le code]

C'est en s'appuyant sur les propriétés précédentes que l'on peut, par exemple, déterminer la vergence d'une lentille divergente inconnue : on mesure la distance focale d'une lentille fortement convergente f'_1 puis la distance focale de cette lentille collée à la lentille divergente f', on calcule leurs vergences (V_1={1\over f'_1} et V={1\over f'}) et on en déduit la vergence de la lentille divergente V_2 = V - V_1.

Calcul de la vergence V d'un miroir sphérique[modifier | modifier le code]

La vergence d'un miroir sphérique dans l'air est donné par la formule suivante, dans laquelle R est le rayon algébrique du miroir :

V=\frac{-2}{R}

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

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Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Autrement dit, elle a même signe que la distance focale image lorsque celle-ci est orientée par le trajet de la lumière (sortante)