Vecteur d'onde

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En physique, un vecteur d'onde (ou « vecteur de phase » notamment en électronique) est un vecteur perpendiculaire au front d'onde d'une onde monochromatique et indiquant ainsi la direction de sa propagation. La norme du vecteur d'onde correspond au nombre d'onde (lié à l'inverse de la longueur d'onde), il est un support à l'approximation qu'est l'optique géométrique, et c'est l'équivalent pour l'onde, de la quantité de mouvement pour un corps massif. Cette similitude a déjà trouvé son aboutissement dans les travaux de Louis de Broglie au début du XXe siècle qui aidèrent à la naissance de la physique quantique et dans cette théorie la similitude a trouvé confirmation dans la dualité onde-corpuscule. Pour la lumière, et en relativité restreinte et générale, le vecteur d'onde est complété par la fréquence pour donner le quadrivecteur d'onde.

Le vecteur d'onde est très utile pour généraliser l'équation d'une onde à la description d'une famille d'ondes. Si toutes les ondes d'une famille se propagent dans la même direction et possèdent la même longueur d'onde, elles peuvent toutes être décrites par le même vecteur d'onde. Le cas le plus courant d'une famille d'onde respectant ces conditions est celle d'une onde plane, pour laquelle la famille d'ondes est également cohérente (toutes les ondes possèdent la même phase).

Exemple des ondes planes[modifier | modifier le code]

Par exemple, une représentation courante d'une onde en un point de l'espace est :

\psi \left(t\right) = A \cos \left(\phi + \omega t\right)\,

Pour généraliser cette équation à tous les points d'un espace unidimensionnel dans la direction de propagation, il est nécessaire d'ajouter un second terme de déphasage :

\psi \left(t , z\right) = A \cos \left(\phi - k z + \omega t\right)\,
  • k est le nombre d'onde.
  • z est la variable d'espace dans la direction de propagation.

Dans le cas d'un espace à trois dimensions et dans le cas d'ondes planes, il est aisé de généraliser la formule précédente en remplaçant le nombre d'onde k par le vecteur d'onde \vec k et la variable d'espace z par le vecteur position \vec r


  \psi \left(t , \vec {\mathbf r} \right) = A \cos 
    \left( 
      \phi - \vec {\mathbf k} \cdot \vec {\mathbf r} + \omega t
    \right)
\,

Le raisonnement est similaire pour des ondes "non planes", mais avec une amplitude A dépendant de la position.

Passage en complexe[modifier | modifier le code]

Le passage en nombres complexes est mal vu par certains physiciens[Qui ?] qui préfèrent conserver jusqu'au bout du calcul des valeurs réelles (avec des cosinus et des sinus).


  \psi \left(t , \vec {\mathbf r} \right) = A_{0} \cdot
    e^{ i \phi }
    \cdot 
    e^{ i \left( 
          \omega t - \vec {\mathbf k} \cdot \vec {\mathbf r} 
        \right ) }

On peut très bien utiliser cette équation pour des ondes à la surface d'un liquide par exemple : \psi pouvant alors désigner l'amplitude des vagues ou la vitesse locale du liquide.

Onde plane électromagnétique[modifier | modifier le code]

La valeur \psi peut aussi bien désigner la valeur complexe de la projection suivant un axe (x par exemple) d'un champ electrique


    \vec {\mathbf E} = \begin{bmatrix}
        E_{0} \cdot 
            e^{ i \phi_{E} }\cdot 
            e^{ i \left( \omega t - \vec {\mathbf k} \cdot \vec {\mathbf r} \right ) } \\
         0 \\
         0 \\ 
    \end{bmatrix}

Ou tout aussi bien la valeur complexe de la projection suivant un axe (y par exemple) d'un champ magnétique


    \vec {\mathbf B} = \begin{bmatrix}
        0 \\ 
        B_{0} \cdot 
            e^{ i \phi_{B} }\cdot 
            e^{ i \left( \omega t - \vec {\mathbf k} \cdot \vec {\mathbf r} \right ) } \\
        0 \\
    \end{bmatrix}

Dans le cas de l'approximation d'une onde plane ces deux vecteurs et le vecteur d'onde (placé dans ce cas suivant l'axe z) forment un trièdre orthogonal.


  \vec {\mathbf K} = 
  \begin{bmatrix}
    0 \\ 0 \\ k_{z} \\  
  \end{bmatrix}

De nombreuses démonstrations faites avec les nombres complexes (et des exponentielles) s'avèrent non seulement plus élégantes mais aussi plus simples à comprendre. La seule difficulté étant de retransformer le résultat obtenu en nombre réel en suivant des règles cohérentes (c'est-à-dire conserver la convention de signe choisie : i ou -i).

Quadrivecteur d'onde en relativité[modifier | modifier le code]

En ce qui concerne les ondes électromagnétiques, on peut introduire un quadrivecteur d'onde K_{4} = \left({\omega \over c} ; k_{x} ; k_{y} ; k_{z} \right) et un quadrivecteur position \ R_{4}= (ct ; x ; y ; z) issus de l'espace de Minkowski, et en utilisant la forme bilinéaire de l'espace de Minkowski, on a :

\psi \left( t , \vec {\mathbf r} \right) = A_{0} \cdot e^{i \phi} \cdot e^{i K_{4} \cdot  R_{4}}

avec c la vitesse de la lumière.

Analogie avec la quantité de mouvement (émissions dirigées)[modifier | modifier le code]

Einstein a postulé en 1918 que p (la quantité de mouvement) est similaire à k le vecteur de l'onde associé au corpuscule[réf. nécessaire] (à une constante dimensionnée près). Ce qui donne :

p=ℏk (émissions dirigées)

Avec l'effet photoélectrique (mis en évidence par Hertz et Lenard et interpreté par Einstein) cette relation a permis l'écriture de l'équation de Schrödinger, à la base de la physique quantique[réf. nécessaire].

Voir aussi[modifier | modifier le code]