Variété (algèbre)

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En algèbre universelle, une variété est une classe équationnelle, c'est-à-dire une classe K non vide de structures algébriques de même signature qui satisfont un ensemble d'identités (appelé axiomatisation équationnelle de la classe).

Par exemple les équations suivantes

(x * y) * z = x * (y * z)
x * e = x
e * x = x

(pour tous x, y, z) définissent, parmi les magmas pointés (E,\star,e), la variété des monoïdes.

D'après la définition, toute variété K vérifie :

  • (H) toute image par homomorphisme d'un élément de K est dans K ;
  • (S) toute sous-structure d'un élément de K est dans K ;
  • (P) tout produit direct d'éléments de K est aussi dans K.

Le théorème HSP de Garrett Birkhoff (1935) énonce que la réciproque est vraie : toute classe stable par homomorphismes, sous-structures et produits est équationnelle.

Article connexe[modifier | modifier le code]

Théorème des variétés d'Eilenberg