Utilisateur:Vybduchene/Brouillon

Cas où le rang de A est inférieur à m

On peut alors ajouter à une certaine ligne d'indice i de A une combinaison linéaire des autres lignes de la matrice, de telle sorte que la somme soit nulle. Si on applique cette combinaison linéaire aux lignes du système (*) et qu'on l'ajoute à sa ligne i, on obtient une équation de la forme

$a_{1}y_{1}+\cdots +a_{n}y_{n}=k(x)$.

• Si tous les a_i sont nuls mais pas k(x), le système (*) est impossible ;
• si les a_i sont nuls ainsi que k(x), le système a une relation de dépendance linéaire, et on a diminué le nombre d'équations d'une unité ;
• si tous les a_i ne sont pas nuls, on a une relation de la forme

$y_{j}=\sum _{i\not =j}-{a_{i} \over a_{j}}y_{i}+{k(x) \over a_{j}},\quad (**)$

donc aussi

$y'_{j}=\sum _{i\not =j}-{a_{i} \over a_{j}}y'_{i}+{k'(x) \over a_{j}}.$

On peut alors injecter ces expression de y_j et de y'_j dans le système (*), ce qui a pour effet de chasser la variable y_j du système. On obtient alors un système de m-1 équations à n-1 inconnues, qui, adjoint à la relation (**), est équivalent au système original. Il se peut d'ailleurs que le nouveau système comporte une équation impossible de la forme 0 = k(x), auquel cas il n'y a pas de solutions.

Dans tous les cas, lorsqu'on n'a pas abouti à une impossibilité, on s'est ramené à un système de même forme que le système (*), mais où m a été diminué d'une unité.

Si après cela le rang de A est toujours inférieur à m, les étapes précédentes peuvent être répétées autant de fois qu'il est nécéssaire pour se ramener au cas où le rang de A est égal à m, ou aboutir à une impossibilité.

Cas où le rang de A est égal à m

Notons que cela implique m ≤ n.

• Si m = n, on retombe dans le premier cas et on se ramène à un système sous forme résolue ;
• Si m < n, il y a plus de variables que d'équations, et, comme on va le voir, le système est indéterminé: il existe n - m indices j tels qu'en donnant aux y_j une valeur quelconque (dans l'ensemble des fonctions dérivables), le système a toujours une solution.

Pour le voir, on peut supposer, en vertu de l'élimination gaussienne, que la matrice A est (non carrée) triangulaire supérieure. Tous les éléments situés sur la diagonale sont d'ailleurs non nuls puisque le rang de A est m. On voit qu'en affectant à priori une valeur quelconque à y_j, pour j > m, dans le système, et en substituant évidemment sa dérivée à y'_j, on obtient un système de m équations à m inconnues de forme similaire au système original, où le rang de A est égal à m. On s'est donc ramené au premier cas, et le système admet des solutions d'après la théorie de la forme résolue. Cela montre que le système a des solutions qui dépendent de la détermination arbitraire de n - m variables y_j.