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Extension des morphismes et des places dans les anneaux intègres et les corps

En mathématique, et plus précisément en algèbre commutative, une question fondamentale concerne la possibilité d'étendre les morphismes dans les anneaux. Plus précisément, si A et B sont deux anneaux intègres, et si A' est un anneau contenant A, comment étendre un morphisme φ de A dans B en un morphisme de A' dans une extension B' de B, ou tout au moins en une place de A' dans B' ∪ { ∞ } ? Un certain nombre de théorèmes fournissent une réponse complète à cette question.

Extension des morphismes dans les extensions transcendantes

Considérons un anneau intègre A, et K son corps des fractions. Si S est un ensemble d'éléments transcendants algébriquement libres sur K, A[S] s'identifie à l'anneau des polynômes à plusieurs variables, indexées par les éléments de S.

Pour un tel polynôme P et un morphisme φ de A dans un corps F, on définit P^φ comme étant le polynôme de F[S], obtenu en appliquant φ au coefficients de P. L'assertion suivante se vérifie aisément :

L'application qui, à un élément P de A[S], fait correspondre l'élément P^φ dans F[S], étend le morphisme φ à l'anneau A[S]. Elle est de plus injective ou bijective, selon que φ est injectif ou bijectif.

Évidemment, cette extension n'est pas la seule : on peut la composer à gauche avec un automorphisme de A[S] dans A[S] pour produire une autre extension ; par exemple, si σ est une permutation des éléments de S et si Ψ est l'application qui, à un polynôme P(X_s, X_s', ...) associe le polynôme P(X_σ(s), X_σ(s'), ... ), alors Ψ est un automorphisme de A[S], et φΨ est une extension de φ.

Extension des morphismes d'anneaux intégralement clos

Supposons que A est un anneau intègre intégralement clos, et que A' est un anneau d'entiers sur A. On se donne à nouveau un morphisme φ de A dans un anneau intègre B.

Théorème :

1. Le morphisme φ possède une extension ͠φ en un morphisme de A' à valeurs dans un anneau d'entiers B' sur B.
2. Si φ est injectif, toutes ses extensions à A' sont injectives.

Corollaire : Soit A un anneau intègre, K son corps des fractions, et L une extension algébrique de K. Si φ est un morphisme injectif de A dans un corps K', alors φ s'étend un un morphisme injectif du corps L dans une extension algébrique de K'.

   Démonstration

1. Si A' est de type fini sur A, on peut démontrer ce résultat par induction. Mais comme cela n'est pas supposé, on doit utiliser un argument de type transfini, comme la récurrence transfinie ou le lemme de Zorn.

Ordonnons l'ensemble E des couples (M, ͠φ), où M est un sous-anneau de A' contenant A, et ͠φ est une extension de φ à M dans une extension entière de B, par l'ordre partiel suivant :

(M₁, ͠φ₁) ≤ (M₂, ͠φ₂) si M₁ ⊆ M₂, et ͠φ₂ étend ͠φ₁ à M₂.

Toute partie S de E totalement ordonnée admet un majorant dans E, qui n'est autre que l'anneau égal à l'union des corps composant les éléments de S, combiné à l'unique morphisme qui coincide avec chacun des morphismes composant les éléments de S. En conséquence, le lemme de zorn implique que E contient un élément maximal. Notons le (M, ͠φ), et notons M' l'image de M par ͠φ (M' est une extension entière de B par construction). Il s'agit de montrer que M est égal à A'.

Si tel n'était pas le cas, il existerait un élément entier x dans A' n'appartenant pas à M. Soit P le polynôme minimal (unitaire) de x sur le corps des fractions K de A. On va d'abord montrer que les coefficients de P appartiennent a A. Puisque x est entier sur A, il existe un polynôme unitaire Q ∈ A[X] qui annihile x, et qui est donc divisible par P dans K. Désignons par x, x', x", ... les racines de P ; ainsi

P(X) = (X - x) (X - x' ) (X - x")...

Puisque ces racines sont aussi racines de Q, elles sont toutes entières sur A. Par conséquent, les coefficients de P, égaux, au signe près, aux fonctions symétriques élémentaires de x, x', x",... , sont aussi entiers sur A (voyez l'article Élément entier ou Exemple 1). Mais ils appartiennent à K, et A est intégralement clos, donc ils appartiennent en fait à A, ce qui démontre l'assertion proposée.

Maintenant, soit P^φ l'image de P par φ, obtenue en appliquant φ aux coefficients de P. En vertu du théorème d'extension des morphismes dans les extensions transcendantes, on voit qu'un polynôme Q divise P si et seulement si Q^φ divise P^φ. Soit y une racine de P^φ dans une extension algébrique du corps des fractions de M'. Puisque P^φ est, comme P, unitaire, y est entier sur M'. On peut étendre ͠φ en un morphisme de M(x) dans M' (y), en définissant ͠φ(T(x)) = Tφ(y), pour tout polynôme T à coefficients dans M. Cette extension est bien définie car si T(x) = T' (x), alors P divise T - T', donc P^φ divise T^φ - T' ^φ, et cela implique T^φ(y) = T' ^φ (y). Le fait que cette extension de ͠φ à M(x) est bien un morphisme suit directement du fait que ͠φ s'étend en un morphisme de M(X) dans M' (X), par simple substitution.

L'existence de cette extension de ͠φ à un anneau M(x) d'entiers sur A, dans M' (y), lui aussi composé d'entiers sur B, contredit la maximalité de (M, ͠φ). Par conséquent M = L.

2. Supposons que φ est injectif et que ͠φ est une extension de φ à A', à valeurs dans une extension entière de B. Si x ∈ A' et x ≠ 0, notons P le polynôme minimal de x sur le corps des fractions de A. On a vu que les coefficients de P appartiennent à A. Puisque P est irréductible et P(x) = 0, P^͠φ est irréductible et P^͠φ(͠φ(x)) = 0. Donc le polynôme minimal de ͠φ(x) est P^͠φ = P^φ, et il s'en suit que ͠φ(x) ≠ 0 (sans quoi le coefficient constant de P serait égal à 0). Donc ͠φ est injectif.

Démonstration du corollaire :

D'abord, on peut vérifier mentalement que φ s'étend en un morphisme injectif de K dans K' par la formule

φ(a/b) = φ(a)/φ(b).

D'autre part, puisque L est un corps, L est trivialement un anneau d'entiers sur K. D'après le n^o 1, on en conclut que φ admet une extension injective à L, à valeurs dans une extension algébrique de K'.

Extension par localisation

Un instrument important pour l'étude des extension de morphismes est la localisation d'un anneau en un idéal premier.

Si A est un anneau intègre et p est un idéal premier de A, alors la localisation de A en p, notée A_p, est le sous anneau formé par les éléments a/b du corps des fractions de A, où a et b appartiennent à A et b n'appartient pas à p. On démontre aisément que A_p est un anneau local, c'est à dire qu'il possède un unique idéal maximal : c'est l'idéal formé par les fractions du type a/b, où a appartient à p.

On a le théorème d'extension suivant.

Soit A un anneau intègre, et φ un morphisme de A à valeurs dans un anneau intègre B. On note p = φ^-1(0). Alors p est un idéal premier de A, et φ s'étend en un morphisme de A_p à valeurs dans B.

   Démonstration

Le fait que p soit un idéal premier de A peut se vérifier mentalement. On définit l'extension ͠φ de φ à A_p par φ(a/b) = φ(a)/φ(b) ce qui est licite puisque b n'appartient pas à p. ͠φ est bien définie car a/b = c/d si et seulement si ad = bc, d'où φ(a) φ(d) = φ(b) φ(c). En utilisant les lois d'addition et de produit des fractions, on vérifie que ͠φ est bien un morphisme d'anneaux.

Extension disjonctive

Soit A un anneau intègre, et K son corps des fractions. On suppose que φ est un morphisme de A dans un corps F. Si x est un élément algébrique ou transcendant sur K, alors φ s'étend en un morphisme de A[x] ou de A[1/x], à valeurs dans une extension algébrique de F.

   Démonstration

Si x est transcendant sur K, alors φ s'étend de façon immédiate à A[x], en posant par exemple φ(x) = 0 (section précédente). On suppose donc que x est algébrique sur K.

En notant p le noyau de φ, φ s'étend en un morphisme de A_p dans F (section Extension par localisation). On peut donc supposer sans perte de généralité que A est un anneau local, d'idéal maximal p, égal au noyau de φ. En particulier, l'anneau K = A/p est un corps, isomorphe à φ(A) par le premier théorème d'isomorphisme. Sous cet isomorphisme, l'application φ s'identifie au morphisme d'inclusion x $\mapsto$ x + p. L'idée de la démonstration consiste à trouver un idéal maximal m de A[x] contenant p, de sorte que l'application x $\mapsto$ x + m étende ledit morphisme d'inclusion (et donc l'application φ) au corps A[x]/m.

On va d'abord prouver que l'un au moins des deux idéaux p A[x] ou p A[1/x] est différent de A[x]. Si tel n'était le cas, il existerait des entiers positifs m et n, et des éléments a_i et b_j de p tels que

1 = a₀ + a₁x + a_m x^m     et     1 = b₀ + b₁1/x + b_n 1/x^m    (*)

On peut supposer que m et n sont minimaux, parmis tous les entiers qui satisfont cette propriété. Vu que φ(1-a₀) = φ(1) = 1, l'élément 1 - a₀ de A n'appartient pas à p, donc est une unité dans A (A est local en p). Concernant la première équation dans (*), faisons passer a₀ dans le membre de gauche, et divisons les deux membre par 1 - a₀ dans A. On obtient une relation de la forme

1 = c₁x + ... + c_mx^m,       avec c_i ∈ p.

Le même argument appliqué à l'autre équation fournit une relation de la forme

1 = d₁1/x + ... + d_n1/xⁿ,       avec d_i ∈ p.

Supposons par exemple que m ≥ n, l'autre cas se traitant de manière similaire. On peut multiplier cette dernière équation par a_mx^m et obtenir une équation de la forme

a_mx^m = e₁x^m-1 + ... + e_n ,       avec e_i ∈ p.

En substituant dans la première équation de (*), on obtient alors une relation de la forme

1 = a'₀ + a'₁x + a'_m-1 x^m-1       (a'_i ∈ p),

en contradiction avec la minimalité de m. Ainsi, l'un au moins des deux idéaux p A[x] ou p A[1/x] est strictement contenu dans A[x]. En échangeant éventuellement x et 1/x, on peut supposer que ce soit p A[x].

Le théorème de Krull assure que p A[x] est contenu dans un idéal maximal propre m de A[x]. En particulier, L = A[x]/m est un corps, et l'application x + p $\mapsto$ x + m est un morphisme injectif de K = A/p dans L, qui identifie le corps K à un sous corps de L. En composant avec l'injection canonique, on voit que l'application φ : x $\mapsto$ x + m étend l'application x $\mapsto$ x + p, laquelle s'identifie à φ.

D'autre part, puisque x est algébrique sur K, il est solution d'un polynôme P à coefficients dans A. Donc x + m est solution du même polynôme dont les coefficients sont regardés modulo m. Les coefficients de ce polynôme, noté P, appartiennent donc à K, et x + m est algébrique sur K. Mais alors, L = K[x + m] s'identifie à un sous corps de F/(P), une extension algébrique de F.

Extension des morphismes de corps

Considérons deux corps K₁ et K₂, et un morphisme φ de K₁ dans K₂. Dans ces conditions, le morphisme φ est nécéssairement injectif, car si x ∈ K₁ est différent de 0, alors φ(x$\cdot$1/x) = φ(1) = 1, donc φ(x) ≠ 0.

Si, à la place de considérer un morphisme de K₁ dans K₂, on considérait un morphisme de K₁ dans un anneau intègre B, alors en remarquant que l'image de φ(K₁) dans B est à un corps, le théorème suivant ne s'en trouverait pas altéré.

Théorème : Soit K un corps, et L une extension algébrique de K.

1. Tout morphisme φ de K dans un corps K' s'étend en un morphisme de L dans une extension algébrique de K ; de plus, une telle extension est nécessairement injective si φ est injectif ;
2. Si la dimension de L sur K est finie, alors le nombre de telles extensions est au plus égal à [L : K] ; il est exactement égal à [L : K] si et seulement si L/K est séparable.

   Démonstration

1. Vu qu'un corps commutatif est aussi un anneau intègre intégralement clos, la démonstration de cette assertion a déjà été faite dans la section Extension des morphisme d'anneaux intégralement clos. En fait, cette démonstration se simplifie même un peu, car le fait que les coefficients de P appartiennent à K est ici acquis d'emblée.

2. Cette assertion est démontrée dans l'article Extension séparable.

Extension des morphismes et des places par les places

Places

Définitions et remarques

Si K est un corps, une place de K est une application φ de K dans K' ∪ { ∞ }, où K' est un corps, vérifiant les propriétés suivantes :

• φ(x + y) = φ(x) + φ(y) ;
• φ(x y) = φ(x) φ(y) , pour tout (x,y) différent de (0,∞) ou (∞,0) ;
• Il existe a et b dans K tels que φ(a) ≠ ∞ et φ(b) = ∞.

Le symbole ∞ est astreint vérifier :

• ∞ + x = x + ∞ = ∞ ;
• ∞ $\cdot$ x = x $\cdot$ ∞ = ∞ $\cdot$ ∞ = ∞ pour tout x dans K^* ;
• ∞ + ∞, ∞ $\cdot$ 0 et 0 $\cdot$ ∞ ne sont pas définis.

Dit un peu plus naïvement, une place est un "morphisme" qui est autorisé à (et doit) prendre des valeurs infinies. Les places s'imposent d'elles-même dans le cadres des extensions transcendantes d'un corps K. Supposons par exemple que X soit un élément transcendant sur K. Si a est un élément de K, la substitution X $\mapsto$ a définit un morphisme d'anneau entre K[X] et K. Malheureusement, on ne peut définir un tel morphisme de substitution dans le corps K(X) des fractions rationnelles sur K, car un tel morphisme ne serait pas défini pour une fraction dont le dénominateur serait un multiple du polynôme minimal de a sur K. Par contre, la substitution de a à la place de X définit bien une place de K(X) dans K. Les places apparaissent donc comme un substitut des morphismes, là où une telle définition est impossible. Cet instrument, équivalent aux valuations dans les corps, s'avère particulièrement utile et puissant dans le cadre de l'arithmétique des corps, un domaine défini relativement récemment, sous l'impulsion de Michael Fried et Moshe Jarden.

Conséquence des axiomes

Si φ est une place d'un corps K, alors

• φ(0) = 0 ;
• φ(1) = 1 ;
• φ(x) = 0 si et seulement si φ(1/x) = ∞ ;
• l'ensemble O_φ des éléments tels que φ(x) ≠ ∞, dits éléments finis en φ, est un anneau de valuation. Son unique idéal maximal est l'ensemble p des éléments x ∈ O_φ tels que φ(x) = 0 ;

   Démonstration

Les trois premières assertions sont triviales. L'ensemble O_φ est évidemment un anneau, et si x ∈ O_φ, alors x ou 1/x sont finis (par la troisième conséquence). Donc O_φ est bien un anneau de valuation. L'ensemble p tel qu'il est défini est évidemment un idéal de O_φ. S'il n'était maximal, il existerait x dans un idéal propre p' de O_φ contenant p, tel que φ(x) ≠ 0. Mais alors 1/x appartiendrait à O_φ, donc aussi 1 = x $\cdot$ 1/x, et p' serait égal à O_φ tout entier, une contradiction.

L'anneau O_φ mentionné dans la quatrième conséquence est souvent dénommé anneau de valuation de φ. Il vérifie :

• l'image de O_φ par φ est un anneau B ;
• la restriction de φ à O_φ est un morphisme d'anneaux entre O_φ et B ;
• l'anneau O_φ est intégralement clos.

   Démonstration

Les deux première propriétés sont immédiates. Pour voir que O_φ est intégralement clos, considérons un élément x dans K n'appartenant pas à O_φ, et supposons que x est racine d'un polynôme unitaire P à coefficient dans O_φ, disons Xⁿ + a_n-1 X^n-1 + ... + a₀. Puisque φ(x) = ∞, φ(1/x) = 0. Mais en divisant P par Xⁿ on trouve que a₀ 1/xⁿ + ... + a_n-11/x + 1 = 0. En appliquant φ aux deux membres de cette équation, on aboutit à la contradiction : φ(1) = 0. Donc x ne peut être racine d'un polynôme unitaire à coefficients dans O_φ.

Extension par les places

Le théorème suivant est essentiel en arithmétique des corps.

Théorème (Chevalley) : Soit A un anneau intègre, K son corps des fractions, et L une extension quelconque de K.

1. Tout homomorphisme non injectif de A dans une la clôture algébrique Ω de K s'étend en une place de L dans Ω ∪ { ∞ } ;
2. Toute place de K dans Ω ∪ { ∞ } s'étend en une place de L dans Ω ∪ { ∞ }.

   Démonstration

1. Ordonnons l'ensemble E des couples (B, ͠φ), où B est un sous-anneau de K contenant A, et ͠φ est une extension de φ à B dans Ω, par l'ordre partiel suivant :

(B₁, ͠φ₁) ≤ (B₂, ͠φ₂) si B₁ ⊆ B₂, et ͠φ₂ étend ͠φ₁ à B₂, avec Im( ͠φ₂) ⊆ Ω.

Toute partie S de E totalement ordonnée admet un majorant dans E, qui n'est autre que l'anneau égal à l'union des anneaux composant les éléments de S, combiné à l'unique morphisme qui coincide avec chacun des morphismes composant les éléments de S. En conséquence, le lemme de zorn implique que E contient un élément maximal. Notons le (B, ͠φ) (l'image de ͠φ est contenue dans Ω par construction). Par le théorème d'extension disjonctive, pout tout x appartenant à L, l'un au moins des deux éléments x ou 1/x appartient à B, sans quoi le couple (B, ͠φ) ne serait pas maximal. Par conséquent B est un anneau de valuation, dont le corps des fractions est L. Si l'idéal Ker( ͠φ) n'était maximal dans B, il serait contenu dans un idéal maximal I de B, et l'injection canonique x $\mapsto$ x + I de B dans B/I s'identifierait à une extension propre de ͠φ, encore une contradiction avec la maximalité du couple (B, ͠φ). Ainsi, Ker(͠φ) est l'unique idéal maximal de B, et on en tire facilement que si x est dans B et vérifie ͠φ(x) ≠ 0, alors 1/x l'est aussi et vérifie ͠φ(1/x) = 1/ ͠φ(x). Il ne reste donc qu'à définir ͠φ sur L - B, c'est-à-dire sur l'ensemble des éléments x de L tels que ͠φ(1/x) = 0. Pour un tel élément x, on pose ͠φ(x) = ∞. Notons qu'il existe au moins un tel x car le morphisme φ est supposé non injectif. On vérifie sans peine que l'application ͠φ, définie de cette manière, satisfait aux axiomes de définition des places.

2. La restriction de φ à son anneau de valuation O_φ, ensemble des éléments sur lesquels la place φ est finie, est évidemment un homomorphisme de O_φ dans Ω. D'après le n^o 1, il s'étend en une place ͠φ de L dans Ω. Mais pour tout x dans K, ͠φ(1/x) = 0 si et seulement si φ(1/x) = 0, donc ͠φ(x) = ∞ si et seulement si φ(x) = ∞. Ainsi ͠φ étend la place φ toute entière et pas seulement sa restriction à O_φ .

Liens externes

• Algèbre commutative, par A. Chambert-Loir
• Anneaux et corps, par Christian Squarcini

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