Utilisateur:J.bennetier/Brouillon

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Le paradoxe des deux enveloppes à pour cause un raisonnement incorrect qui introduit un calcul d'espérance de gain dans un énoncé sans variable aléatoire.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Deux enveloppes contiennent chacune un chèque. L'un des chèques porte un montant double de l'autre. Un animateur propose à un candidat de choisir une des enveloppes, le montant du chèque dans l'enveloppe choisie lui sera acquis. Avant qu'il n'ouvre son enveloppe, l'animateur lui conseille de changer son choix avec le raisonnement suivant. Soit x la valeur du chèque dans l'enveloppe choisie. Deux cas sont possibles:

x est la plus petite des deux valeurs donc l'autre enveloppe contient le double soit 2x,
x est la plus grande des deux valeurs donc l'autre enveloppe contient la moitié soit x/2.

Comme ces deux cas sont équiprobables, l'espérance de gain en changeant d'enveloppe est 1/2*2x+1/2*x/2 soit 5x/4, ce qui est supérieur à x. Le candidat aurait donc intérêt à changer d'enveloppe. Ce qui est absurde puisque l'autre enveloppe aurait pu avoir été choisie en premier. Le raisonnement de l'animateur est donc incorrect. Résoudre le paradoxe consiste à déterminer l'erreur commise par l'animateur.

Historique[modifier | modifier le code]

Ce paradoxe a pour origine le paradoxe des deux cravates énoncé par Maurice Kraitchik. dans son livre La mathématique des jeux ou Récréations mathématiques qui a été repris par Martin Gardner dans la revue Scientific American sous la forme du paradoxe des deux portefeuilles. Il est apparu sous la forme actuelle dans un article de ... La simplicité de l'énoncé en fait le succès et donne lieu, encore aujourd'hui, à de très nombreuses tentatives de solution.

Formalisation[modifier | modifier le code]

Désignons par n la plus petite des deux valeurs dans les enveloppes, par x la valeur choisie et par y l'autre valeur. Le raisonnement de l'animateur peut s'écrire:
avec une chance sur 2 on a x = n donc y = 2n et y = 2x
avec une chance sur 2 on a x = 2n donc y = n et y = x/2
et l'espérance de y vaut E(y) = 1/2*2x+1/2*x/2 = 5x/4.

Solutions proposées[modifier | modifier le code]

Première tentative de solution[modifier | modifier le code]

Cette solution consiste à remarquer que, avant le choix de l'enveloppe, l'espérance de gain de chaque enveloppe est 3n/2 et reste, après le choix, ce qu'elle était avant le choix. Cette propriété avait déjà été établie par Kraitchik à l'intention de Martin Gardner pour montrer que le choix est équitable mais Martin Gardner a remarqué que cette propriété ne donnait pas d'indication sur l'erreur commise dans le raisonnement et ne peut donc pas servir de solution.

Deuxième tentative de solution[modifier | modifier le code]

Cette solution suppose que n est une variable aléatoire et, en acceptant le raisonnement de l'animateur, on en déduit qu'il existe une loi de probabilité uniforme sur N ce qui est absurde. La logique de cette solution qui consiste à déduire une absurdité à partir d'une hypothèse déjà reconnue comme fausse ne peut pas être retenue comme une réfutation.

Troisième tentative de solution[modifier | modifier le code]

Douglas Hopfsdader considère que le paradoxe est insurmontable et envisage de remettre en cause la définition de l'espérance mathématique d'une variable aléatoire..Ce qui paraît un peu excessif.

Explications[modifier | modifier le code]

Première explication[modifier | modifier le code]

Lorsque que le choix est fait il n'y a plus de variable aléatoire. n, x, y sont des valeurs parfaitement déterminées (il suffit d'ouvrir les enveloppes pour les connaître) et la relation qui les lie est y = 3n-x, symétrique en x et y.
Toute considération probabiliste introduite dans cet énoncé est par conséquent malvenue et précipite inexorablement son auteur dans le piège tendu par l'animateur.

Deuxième explication[modifier | modifier le code]

On peut formaliser cette explication en remarquant que y = C.x/2 + (1 - C).2x où C représente la v.a. avant le choix de l'enveloppe. Après le choix C vaut 0 ou 1..

Troisième explication[modifier | modifier le code]

Marilyn vos Savant explique dans sa revue xxx que le raisonnement de l'animateur est incorrect puisque ce raisonnement implique la présence de trois valeurs possibles : x, 2x et x/2 alors que l'énoncé ne fait état que de deux enveloppes seulement. Cet argument est bien une preuve que le raisonnement est incorrect.

Le paradoxe sans probabilité de Raymond Smullyan[modifier | modifier le code]

Raymond Smullyan propose l'énoncé suivant du paradoxe. (1) le gain espéré n est égal à la perte possible n (2) le gain espéré 2x est plus grand que la perte possible x/2.

Variantes du paradoxe[modifier | modifier le code]

Paradoxe des deux cravates[modifier | modifier le code]

L'origine du paradoxe des deux enveloppes se trouve le paradoxe de deux cravates. Deux amis, A et B, font le pari que celui que porte la cravate la plus belle, suivant la décision d'un arbitre, devra la donner à l'autre. Chaque parieur raisonne ainsi : "Dans ce pari je risque de perdre ma cravate mais, avec une chance sur deux, je peux gagner une cravate plus belle que la mienne. Le pari est donc à mon avantage". Ainsi le pari semple avantageux pour chacun les deux parieurs, ce qui est impossible: ce que gagne l'un doit être perdu par l'autre.

Variante de Barry Nalebuff[modifier | modifier le code]

On met la valeur x dans une enveloppe et l'animateur vous propose de mettre dans l'autre enveloppe la valeur y égale à 2x ou x/2 avec la probabilité 1/2. Il est clair dans cette variante que l'espérance en changeant d'enveloppe est 5x/4. Mais attention, comme dans le paradoxe original cette espérance n'est valable qu'avant le tirage donnant la valeur de y. Après ce tirage, en désignant par n la plus petite des deux valeurs x et y, quand y=2x alors x=n, y=2n et le gain est n dans l'échange, quand y=x/2 alors y=n, x = 2n et le gain est encore n. On retrouve le paradoxe original avec la même erreur de raisonnement: après le tirage de la valeur de y il n'y a plus de probabilité quand bien même on ne connaît pas la valeur de y.

Variante de Broome[modifier | modifier le code]

John Broome, repris par d'autres auteurs, propose le protocole suivant : l'animateur place dans les enveloppes les montants 2ⁿ et 2ⁿ⁺¹ avec une probabilité 2ⁿ/3ⁿ⁺¹ pour n positif ou nul. Il remarque d'abord que lorsque l'enveloppe choisie contient x = 1 on a intérêt à échanger puisque l'autre enveloppe contient 2 puis il montre que lorsque x = 2ⁿ avec n > 0 il y a un gain de x/10 espéré dans l'échange. Il en conclut que dans tous les cas le candidat a intérêt à changer son choix même s'il n'ouvre pas l'enveloppe. Ce qui est paradoxal puisque, si le candidat n'ouvre pas l'enveloppe, on a déjà montré qu'il n'y a aucun gain à espérer dans l'échange. Déduire un avantage lorsqu'on n'ouvre pas l'enveloppe de l'avantage espéré en prenant connaissance du contenu de l'enveloppe semble donc abusif.

Références[modifier | modifier le code]

↑ explication du paradoxe par David Madore [archive]

Liens externes[modifier | modifier le code]

(fr) David Madore, Un peu de probabilités
(fr) Jean-Paul Delahaye, « », sur http://accromath.uqam.ca,‎ 2011

(en) David J. Chalmers, The Two-Envelope Paradox: A Complete Analysis?
(en) Keith Devlin, The Two Envelopes Paradox, August 2004
(en) [PDF] Albers, Trying to resolve the two-envelope problem, Chapter 2 of his thesis Distributional Inference: The Limits of Reason, December 2002