Triple produit de Jacobi

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En mathématiques, le triple produit de Jacobi est une relation qui exprime les fonctions thêta de Jacobi, normalement écrites sous forme de séries, comme un produit. Cette relation généralise plusieurs autres résultats, tels que le théorème des nombres pentagonaux.

Soient x et y des nombres complexes, avec |x| < 1 et y non nul. Alors

\prod_{m=1}^\infty 
\left( 1 - x^{2m}\right)
\left( 1 + x^{2m-1} y^2\right)
\left( 1 + x^{2m-1} y^{-2}\right)
= \sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2} y^{2n}.

Ceci peut être vu comme une relation faisant intervenir les fonctions thêta. Prenons x=\exp (i\pi\tau) et y=\exp(i\pi z) ; le membre de droite est alors la fonction thêta :

\vartheta(z; \tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty \exp (i\pi n^2 \tau + 2i \pi n z).

Le théorème des nombres pentagonaux d'Euler découle de la première formule en prenant x=q^{3/2} et y^2=-\sqrt q. On obtient alors l'identité :

\phi(q) = \prod_{m=1}^\infty \left(1-q^m \right) = 
\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{(3n^2-n)/2}.\,

Le triple produit de Jacobi prend une forme particulièrement élégante lorsqu'il est exprimé avec la fonction thêta de Ramanujan (en). Il revêt également une forme très compacte sous forme de q-séries :

\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n(n+1)/2}z^n = 
(q;q)_\infty \; (-1/z;q)_\infty \; (-zq;q)_\infty.

Ici, (a;q)_n sont des q-séries exprimées grâce au q-symbole de Pochhammer.

Références[modifier | modifier le code]