Transversalité

En algèbre linéaire et en géométrie différentielle, la propriété de transversalité est un qualificatif pour l'intersection de sous-espaces ou de sous-variétés. Elle est en quelque sorte l'opposé de la notion de tangente.

Deux sous-espaces vectoriels $F$, $G$ d'un espace vectoriel $E$ sont dits transverses quand $F+G=E$. Cette condition peut être réécrite, le cas échéant, en termes de codimension :

$\operatorname {codim} (F)+\operatorname {codim} (G)=\operatorname {codim} (F\cap G)$.

Deux sous-espaces affines $Y$, $Z$ d'un espace affine $X$ sont dits transverses si leurs directions sont transverses^{[réf. nécessaire]}, c'est-à-dire si

${\overrightarrow {Y}}+{\overrightarrow {Z}}={\overrightarrow {X}}$.

Deux sous-variétés $M$ et $N$ d'une variété différentielle $P$ sont dites transverses lorsque, pour tout point $x$ de $M\cap N$, les espaces tangents $\displaystyle T_{x}M$ et $\displaystyle T_{x}N$ sont transverses dans l'espace tangent $\displaystyle T_{x}P$, c'est-à-dire si

$\displaystyle T_{x}P=T_{x}M+T_{x}N$

Dans la suite, $m,n,p$ désignent les dimensions respectives de $M,N,P$.

Remarques :

• La définition reste valable pour les variétés banachiques.
• Deux sous-variétés disjointes sont transverses.
• Si $m+n<p$, alors la condition de transversalité ne peut être vérifiée que si les sous-variétés $M$ et $N$ sont disjointes.

Théorème — Une intersection transverse et non vide $M\cap N$ est une sous-variété différentielle de dimension $m+n-p$.

On a donc dans ce cas les relations

$\operatorname {dim} (M\cap N)=\operatorname {dim} (M)+\operatorname {dim} (N)-\operatorname {dim} (P).$ $\operatorname {codim} (M\cap N)=\operatorname {codim} (M)+\operatorname {codim} (N).$

Par exemple, deux surfaces régulières de l'espace à trois dimensions sont transverses si et seulement si elles n'ont aucun point de tangence. Dans ce cas, leur intersection forme une courbe régulière (éventuellement vide).

Généricité

Théorème — Si $M$ et $N$ sont deux sous-variétés de classe $C^{k}$ ($\scriptstyle k\geq 1$) de dimensions respectives $m$ et $n$, alors il existe un $C^{k}$-difféomorphisme $h$ de $P$, aussi proche de l'identité que souhaité en topologie $C^{k}$, tel que $h(M)$ intersecte transversalement $N$.

En général, deux sous-variétés s'intersectent transversalement, quitte à perturber l'une d'elles par une isotopie.